ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О деформациях в окрестности особой точки из "Механика трещин Изд.2 " Приведенные выше решения задач о трещине, полученные на основе линейной теории упругости, указывают на неограниченные деформации в окрестности края трещины. Этот вывод, как было показано в предыдущем параграфе, справедлив и в тех случаях, когда линейная теория трактуется как некоторая геометрически точная, причем независимо от того, в лагранжевых или в эйлеровых переменных записываются (одни и те же по форме) линейные соотношения. [c.82] Возникает вопрос присуща ли указанная неограниченность только линейной теории и приведенным геометрически точным ее интерпретациям или она сохраняется в более общем случае Ниже дается ответ на этот вопрос - указываются достаточные критерии неограниченности деформации. [c.82] Поскольку деформации ограничены, перемещения непрерывны, так что их предельные значения (г - 0) не зависят от 0. [c.83] Сравнивая последнее равенство с выражением для второй вариации полной энергии (1.16), видим, что если материал устойчив (б Р О, вариация хотя бы одной из компонент градиента перемещения отлична от нуля), то равенство (3.6) не выполняется и, следовательно, деформация в окрестности особой точки неограниченна (точнее, не существует ограниченных пределов для компонент градиента перемещения или тензора Пиолы-Кирхгофа при г - О, 0 = onst). [c.85] Здесь в общем случае ш, п = 1, 2, 3. Для плоской деформации т, п = 1, 2. [c.85] что для рассматриваемого материала условие (3.8) не выполняется, если входящие в него переменные эйлеровы, и выполняется при ди дх = 1 в случае лагранжевых переменных, когда материал, по данному выше определению, устойчив лишь при достаточно малом удлинении (Еу = ди дх 1). [c.87] Но при ограниченной деформации относительное изменение объема удовлетворяет неравенствам - 1 Д . Поэтому равенство (3.10) тождественно условию (3.9), записанному в эйлеровых переменных. [c.87] даже если условия (3.8), (3.9) в лагранжевых переменных выполняются (материал неустойчив), а те же по форме условия в эйлеровых переменных не выполняются, деформации и (или) напряжения в окрестности особой точки неограниченны. [c.87] Сказанное не означает, что различные способы описания приводят к разным выводам о напряженном состоянии тела. Напряженное состояние от способа описания не зависит, различаются лишь тензоры напряжений , которые здесь используются, так как при лагранжевом и эйлеровом описаниях они имеют различный смысл. [c.88] По отношению к деформации, однако, подобная изменчивость исключена. Действительно, предположим, что при лагранжевом (эйлеровом) описании данная точка не особая, т. е. градиент перемещения в ней непрерывен, относительное изменение объема удовлетворяет неравенствам - 1 Д . Тогда (вследствие указанных неравенств) имеет место локальное взаимно однозначное соответствие между градиентами перемещений ди дх и ди дХ Следовательно, и при эйлеровом (лагранжевом) описании данная точка не особая. Поэтому, если при каком-либо из указанных описаний точка - особая, то она будет особой и при другом описании. В качестве примера можно снова указать на эйлерову интерпретацию решения задачи о трещине в рамках линейной теории упругости, где напряжения непрерывны, а деформация разрывна (бесконечна). [c.88] ЧТО противоречит условию (3.11). Таким образом, оценки (3.12) не выполняются, что и требовалось доказать. [c.90] Приведенное утверждение остается в силе и при использовании эйлеровых переменных [94]. [c.90] Вернуться к основной статье