ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полуторалинейные формы и соответствующие им операторы из "Неоднородные среды и теория колебаний " Для полуторалинейных форм и соответствующих им операторов мы имеем следующие определение и критерий голоморфности. [c.283] Тогда если 4(ц) - семейство максимально аккретивных операторов на Н, соответствующих форме а(ц) яо первой теореме о представлении, о 4 (ц) - голоморфное по раствору семейство. Говорят, что это - семейство типа В по Като. [c.283] Для изучения спектральных свойств голоморфных семейств важна следующая теорема, которая дает свойства голоморфности резольвент. [c.283] Теорема 4.1. Пусть 4(ц) - семейство замкнутых операторов в банаховом пространстве В, определенное в комплексной окрестности й = Цц, а пусть принадлежит р(Л (ц )) - резольвентному множеству оператора Тогда 4(й) голоморфно при й = тогда и только тогда, когда z ep A( x)) и резольвента (Л(ц) - 2 / )-1 ограниченно голоморфна для достточно малых ц - . Более того, если 4(й) голоморфна, (А ( х) - г/) ограниченно голоморфна по двум переменным й, 2 на множестве всех х, г, таких что гер(А ) а ц -йц дэстаючно мало в зависимости от г). [c.283] Из теоремы 4.1 можно получить следующий результат, являющийся аналогом теоремы 3.1 для операторов, голоморфно зависящих от параметра. [c.284] Отметим вполне очевидное су1едствие из теоремы 4.2, которое аналогично указанному в комментарии к теореме 3.1 (только вместо сходимости речь идет о голоморфности). [c.285] Более сложные случаи возникают, когда диссипативное слагаемое в (4.2) есть неограниченный оператор. Мы рассмотрим пример такого случая в следующем параграфе. [c.286] Предыдущие методы связаны с операторами, зависящими от параметра, но действующими в пространстве, которое само не зависит от параметра. В приложениях часто пространство зависит от параметра и предьвдущие методы необходимо приспособить к таким случаям. Результаты тогда теряют точность Мы собираемся объяснить это на примере, с которым имели дело в теории полугрупп. [c.286] Теорема 5.2. Рассмотрим фиксированное собственное значение 5 , предельной задачи. Пусть О - окрестность 5 ,, содержащаяся в области (5.7) и такая, что начало координат и все остальные собственные значения (5.6) предельной задачи лежат вне 0. Тогда для достаточно малого е О содержит хотя бы одно собственное значение задачи (5.5). [c.288] Теперь, чтобы получить противоречие между (5.10) и (5.11), достаточно в (5.11) перейти к пределу при е. - 0. Такой переход возможен. Действительно, для фиксированного 5 е Г подынтегральные выражения сходятся по теореме 5.1. Проверим, что можно перейти к пределу по теореме Лебега о мажорируемой сходимости. [c.289] Здесь мы изучим спектральные свойства задачи усреднения границы, рассмотренной в гл. V, 7, 8. [c.290] Наша задача состоит в изучении спектральных свойств Л и Л,, при - 0. Для этого достаточно изучить спектральные свойства иВ так как соответствующие спектры получаются сдвигом на единицу. [c.290] Сейчас мы можем изучить особенности резольвент методом, аналогичным методу 3. [c.291] Лемма 6.2. Пусть у - простая замкнутая кривая, содержащаяся в резольвентном множестве оператора В уар(В ). Тогда для достаточно малою е кривая у содержится и в р В ). [c.291] Как следствие леммы 6.2, существуют интегралы от резольвент (для малых Е) по кривой у. Кроме того, получаем следующую теорему. [c.292] Так как уравнение (6.24) имеет единственное решение, то и - P f при Е - О, и на самом деле не надо переходить к подпоследовательности. [c.294] Доказательство. Доказательство было дано при доказательстве леммы 6.2. [c.294] рассуждая как и при доказательстве леммы 6.2 (с единственным отличием в том, что г лежит внутри у), получим, что сходимость в (6.27) сильная, так что ш - собственный вектор оператора В , соответствующий собственному значению г и ш 0. [c.295] Вернуться к основной статье