ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Двухшаговая схема Лакса из "Вычислительная гидродинамика " Значения Р1 на втором шаге вычисляются по значениям и1 полученным на нервом шаге. Первый шаг можно рассматривать как предварительный, а смысл имеют только результаты второго шага в каждом цикле. Хотя эта схема по виду не похожа на первоначальную схему Лакса — Вендроффа (уравнения (5.72) — (5.74)), однако подстановка (5.79а) в (5.796) показывает, что в случае линеаризоваипой системы уравнений с постоянными коэффициентами эти схемы эквивалентны. [c.373] Упражнение. Показать, что для уравнений с постоянными коэффнцнен-тамн двухшаговая схема Рихтмайера и схема Лакса — Вендроффа эквивалентны. [c.373] Следуя Рихтмайеру [1963], стало традицией любую схему, которую можно интерпретировать как разложение в ряд Тейлора до членов второго порядка по времени включительно, называть двухшаговой схемой Лакса — Вендроффа или схемой типа Лакса — Вендроффа и т. д. Представляется, что это слишком широкая и несколько неточная классификация она объединяет, иаиример, как схемы Адамса — Бэшфорта (разд. 3.1.12) и Хойна (разд. 3.1.15), разработанные ранее схемы Лакса — Вендроффа, так п схемы Лейта (разд. 3.1,13) и Мак-Кормака (которая будет обсуждаться ниже). Мы сознаем, что отдельные схемы должны классифицироваться конкретнее, но, следуя традиции, приводим их все в настоящем разделе. [c.374] Для больших чисел Куранта последняя схема дает даже меньшие всплеск за скачком, чем схема (5.82), однако здесь снова возникают трудности, связанные с граничными условиями на стенке. Рубин [1970] рассчитывал по этой схеме одномерные течения вязкого газа с химическими реакциями и излучением. [c.376] Исследуя устойчивость. Рубин и Прейзер [1968] установили, что для всех перечисленных выше схем обычное ограничение по числу Куранта (5.4а) является необходимым и достаточным для устойчивости ). [c.376] Синглтон находит значения в точках с нолуцелыми индексами / /2. / /2 выражениях (5.89а) и (5.896) по формуле (5.86), а не по формуле (5.85). На втором шаге (5.89в) значения в точках с полуцелыми индексами определяются согласно (5.88). Условия устойчивости для этой схемы получены небыли. [c.376] Модификация схемы получается чередованием конечных разностей вперед и назад на последовательных (полных) шагах по времени. В двумерном случае конечные разности вперед и назад могут браться различно в направлениях х и у и циклически чередоваться на двух или четырех последовательных шагах по времени. Кроме того, эта схема может использоваться вместе с методом Марчука расщепления по времени (разд. 3.1.13). Детали этой схемы можно найти в работах Мак-Кормака [1971], а также Катлера и Ломекса [1971]. Мак-Кормак и Полли [1972] рассматривали различные аспекты расщепления по времени применительно к данной схеме, а также аппроксимации для смешанных производных в членах уравнений, включающих вязкость. [c.377] Не совсем очевидно, что эта схема является схемой типа Лакса — Вендроффа, не очевидно даже, что схема аппроксимирует исходные уравнения в частных производных, однако полученные при ее помощи замечательные результаты (Мак-Кормак [1969, 1970], Катлер [1969], Ломекс с соавторами [1970], Катлер и Ломекс [1971]) поддерживают уверенность в этом. Поскольку в схеме не требуются значения / 1/2 в точках с полуцелыми по пространству индексами, здесь не возникает трудностей с применением граничных условий (за исключением вариантов схемы с использованием расщепления по времени). [c.377] Данную схему опробовали Тайлер и Эллис [1970] при расчете сильных одномерных ударных волн по уравнениям при отсутствии вязкости, Катлер и Ломекс [1971] при расчете висячих скачков внутри поля трехмерного течения и Андерсон [19706] при расчете квазиодномерных течений с неравновесными химическими реакциями. Ли [1971] использовал эту схему в сочетании с методикой выделения скачков для расчета осесимметричных течений с химическими реакциями. Томас с соавторами [1971] применили схему (также в совокупности с методикой выделения скачков) для численного решения трехмерных задач, продвигая решение по осевой координате, в данном случае игравшей роль времени. [c.377] Упражнение. Показать, что в приложении к одномерному модельному уравнению (5.1) при С = йМ1Ах = 0 схема Мак-Кормака дает точное решение Показать, что схема Мак-Кормака аппроксимирует уравненпе (5.1) в неконсервативной форме. Описать схему с центрированием по времени. [c.378] Члены с искусственной вязкостью представляются разностями вперед по времени. Из-за неявного сглаживания, присущего двухшаговым схемам, приемлемы малые значения Ь. При этом толщина скачка при расчетах по двухшаговой схеме Рихтмайера составляет от 2Дх до ЗДх, а по модифицированной схеме МакКормака— от ЗДх до 4Дл максимальный всплеск за скачком был лишь 0.18% для обеих схем при Ь =0.15 и Ь, ==0.325 соответственно (см. рис. 5.1). Тайлер и Эллис [1970] проверяли схемы также на расчете течений с волнами разрежения и скачками. [c.379] Ввиду успешности этих численных экспериментов и легкости обобщения на многомерные задачи искусственную вязкость Тайлера (5.91) можно рекомендовать для класса двухшаговых схем Лакса — Вендроффа. [c.379] Вернуться к основной статье