ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Область влияния и ошибки из "Вычислительная гидродинамика " В этом разделе мы сопоставим области влияния уравнений в частных производных и соответствующих конечно-разностных уравнений. Нашей целью будет показать, как при помощи конечных разностей против потока удается сохранить некоторое подобие правильного поведения характеристик дифференциальных уравнений. Отметим также, что в этом случае ошибки аппроксимации по пространственной переменной не столь сильно возрастают по сравнению со схемами с центральными разностями. [c.356] Уравнение переноса вихря (5.28) является параболическим, и для него ставится задача с начальными данными с ограниченной пространственной областью влияния в предельном случае течения невязкой жидкости 1/Ре = 0 (если рассматривать это уравнение изолированно). Однако уравнение (5.27) является эллиптическим, и для него ставится краевая задача. Поэтому даже в случае 1/Ре==0 возмущение в какой-либо точке поля течения немедленно передается во все другие точки через нелинейный член, содержащий скорость V, зависящую от г ), а, сле-довательио, в силу уравнения (.5.27) и от Это свойство наследуется и соответствующими конечно-разностными уравнениями. Можно сказать, что для системы (5.27) — (5.28) и соответствующей системы конечно-разностных уравнений скорость распространения возмущений бесконечно велика. [c.356] Все уравнения течения сжимаемой невязкой жидкости являются уравнениями переноса типа уравнения (5.28), и поэтому для них ставится задача с начальными данными. Скорость распространения возмущения здесь конечна-, малые линейные возмущения распространяются с изэнтропической скоростью звука а относительно газа и со скоростью V а относительно неподвижной эйлеровой сетки. Следовательно, при V а, т. е. при М 1, возмущения не распространяются вверх по потоку. Эти свойства сразу приводят к широко известному понятию конуса Маха, т. е. к принципу отсутствия влияния вверх по потоку. [c.356] Курант с соавторами [1928] не требовали ничего другого от конеч1ю-разностных уравнений, так как их целью было только доказательство существования решения. Однако очевидно, что было бы желательно сохранить в системе конечно-разностных уравнений некоторое подобие ограничения области влияния вверх по потоку, которым обладает исходная система уравнений в частных производных. Самое большее, что можно сделать, работая на прямоугольной сетке, это ограничить распространение возмущений в положительном или отрицательном направлении в соответствии сыпи. Данные соображения побудили Куранта, Изаксона и Риса [1952] составлять на прямоугольной сетке конечные разности против потока. [c.357] Эти соображения снова приводят к понятию транснортивных конечных разностей для конвективных членов, обсуждавшемуся в разд. 3.1.8—3.1.10. Однако здесь необходимо разрешить возможность нелинейного распространения возмущений вверх по потоку в случае fls V. Поэтому в уравнениях количества движения приходится применять центральные по пространственным переменным разности для. члена с градиентом давления, поскольку влияние градиента давления передается вверх по потоку ). [c.357] Отметим, что Р пе является переносимой величиной в выра-же1 иях дР/дх и дР/ду, но является переносимой в.еличиной в уравнении энергии в члене У-(УР), характеризующем работу сил давления соответственно для коиечно-разностного представления этого члена можно применять разности против потока. [c.358] В течениях вязкого газа характеристик не существует и приведенные выще соображения теряют силу. Тем не менее при выборе разностных аппроксимаций для конвективных членов кажется разумным руководствоваться свойствами уравнений течений невязкого газа. Теоретически такой подход не обоснован, однако он подтверждается успешным применением метода характеристик для расчета реальных течений с малыми эффектами вязкости. [c.358] Вернуться к основной статье