ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Замечания к оценке методов из "Вычислительная гидродинамика " В предыдущих разделах был рассмотрен целый ряд численных методов для решения уравнения переноса вихря. Перед исследователем, который собирается пользоваться этими методами, встает вопрос об оценке этих методов применительно к интересующим его гидродинамическим задачам, а также вопрос о построении новых методов, если описанные здесь он найдет недостаточными. [c.168] Основным фактором при оценке и построении численных методов является, очевидно, анализ ошибок конечно-разностного аналога, В обычных учебниках ошибки конечно-разностных уравнений классифицируются как ошибки округления и ошибки аппроксимации. Ошибки округления обусловлены конечностью длины слова у электронных вычислительных машин при представлении чисел в форме с плавающей запятой. Длина слова, или число значащих цифр, может быть только целым в системе счисления ЭВМ (обычно 2, 8, 10 и 16). Для современных американских ЭВМ при использовании одного процессора эквивалентная длина слова в десятичной системе меняется от 7 до 14 значащих десятичных цифр. [c.168] Ошибка округления может играть главную роль при нахождении высокоточных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку величина шага Ал может стать очень малой и поскольку используются схемы высокого порядка точности, чувствительные к ошибкам округления. Для дифференциальных уравнений в частных производных в одномерном случае величины Ах и М могут также оказаться столь малыми, что ошибка округления будет играть важную роль. Ошибка округления важна и в некоторых задачах обращения матрицы (см. разд. 3.2.8). Эта ошибка будет оказывать влияние на выбор критерия сходимости (см. разд. 3.4) и, очевидно, будет ограничивать наименьшую величину шага по времени А/, для которой вычисления имеют смысл. [c.169] Несмотря на важность понимания проблемы, связанной с ошибкой округления, обычно дифференциальные уравнения в частных производных в случае многомерных задач по необходимости решаются при достаточно больших величинах шагов по пространственной сетке А — Ах, Ау, Аг) и по времени At, так что ошибки аппроксимации оказываются больше ошибок округления. [c.169] Ошибка аппроксимации связана с тем, что в разложениях в ряды Тейлора сохраняются не все члены, а это эквивалентно использованию конечных величин Ах и А/. Пренебрегая ошибками округления, можно сказать, что все остальные ошибки являются ошибками аппроксимации. Несмотря на свою точность, такая классификация ошибок не является адекватной. В предыдущих разделах мы обсуждали другую классификацию ошибок, которую можно назвать классификацией по свойствам. [c.169] При выборе численного метода пользователь должен оценить важность этих ошибок в рассматриваемой им задаче. Например, для принятого метода ошибка, обусловленная нарушением консервативности, может служить для проверки сходимости решения фазовые ошибки несущественны для стационарного решения для получения схем с желаемыми свойствами Бунеман [1967] рассматривал обращаемость по времени сим--метричных по времени схем и т. д. Целесообразно оценивать метод с точки зрения классификации ошибок по свойствам, а не сосредоточивать внимание исключительно на порядке ошибки аппроксимации, скажем Е — О АР, и т. п., хотя порядок ошибки тоже важен. [c.170] кто знаком только с численными методами для обыкновенных дифференциальных уравнений, постоянно удивляется низкому порядку аппроксимации в схемах, применявшихся в прошлом для дифференциальных уравнений в частных производных. Причина этого просто заключается в том, что для нетривиальных задач гидродинамики трудно добиться фактического получения результатов равномерно высокого порядка точности. В полной задаче точность решения уравнения переноса вихря будет ограничена точностью решения уравнения Пуассона (см. разд. 3.2) и постановкой граничных условий (см. разд. 3.3.1). Последняя особенно увеличивает трудность достижения равномерно высокого порядка точности для задачи в целом при использовании стандартных многоточечных уравнений высокого порядка точности, таких, которые рассматриваются в разд. 3.2.10. (Например, вблизи прямолинейной границы, обычно параллельной одной из осей координат, для схемы с ошибкой порядка О Ах ) требуется знать значения на границе и в пяти ближайших внутренних точках см. Саусвелл [1946].) Исследовать устойчивость таких схем очень трудно, хотя здесь на помощь может прийти понятие расщепления по времени (разд. 3.1.13). [c.170] Другая причина, объясняющая получение часто не оправдывающих ожидания характеристик схем высокого порядка для дифференциальных уравнений в частных производных, заключается в том, что порядок точности схем имеет смысл только при Ах— -0, А/- 0. Таким образом, порядок точности схем имеет большее значение в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, когда требуется меньший объем оперативной памяти и допустимое время расчетов позволяет брать значительно меньшие шаги Ах. [c.170] Аналогичный эффект может быть достигнут при использовании прямоугольной сетки с неравными щагами Ал ф Ау реальное преимущество такой сетки продемонстрировали Хын и Макано [1966]. Рыбицки и Хуппер [1970] решали двумерное уравнение диффузии при помощи полностью неявных разностей первого порядка О (А/) по времени и конечных элементов, имеющих 36 степеней свободы, по пространству. [c.172] Это уравнение позволяет объединенной системе уравнений для F к S сохранить как четвертый порядок точности, так и трехдиагональный вид матрицы вплоть до границы. Таким образом, данная форма проще и точнее, чем обычные пятиточечные выражения. [c.174] Важно отметить, что даже правильные и равномерно точные во всех точках схемы высокого порядка не решают проблему сеточного числа Рейнольдса, описанную в разд. 3.1.8. В самом деле, колебания, возникающие при Re 2 при использовании разностей высокого порядка, часто увеличиваются. По-видимому, неблагоприятные оценки схем высокого порядка точности, приведенные во многих ранних исследованиях, можно отнести за счет недостаточного понимания роли ограничения на Re , которое, возможно, является самой сложной проблемой вычислительной гидродинамики см. Роуч [1975]. [c.174] Вернуться к основной статье