ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Одношаговые явные схемы схема из "Вычислительная гидродинамика " Рассмотренная для линейного модельного уравнения грубая схема ВВЦП, использующая разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным, является одношаговой явной двухслойной по времени схемой. Она называется одношаговой, так как для перехода к новому слою по времени требуется только один вычислительный шаг. Эта схема называется явной, так как все значения в правой части (3.44в), необходимые для вычисления на новом слое по времени, известны, т. е. значения не входят в правую часть уравнения ). Она является двухслойной но времени ), так как для вычислений здесь привлекаются только два слоя по времени новые значения на слое п 1 вычисляются только по значениям на слое п. [c.85] Для изученной ранее однослойной схемы множитель перехода О был просто числом, а условие устойчивости имело вид 1. [c.86] очевидно, удовлетворяет условию устойчивости (3.152) в предельном случае равенства. Аналогичный результат получается также при двух пространственных переменных, но здесь для устойчивости требуется выполнение неравенства Сл + Су 1. [c.87] Таким образом, метод фон Неймана показывает, что схема чехарда правильно моделирует одно из свойств, присущих решению исходного дифференциального уравнения при и — = onst, а именно отсутствие затухания. Любая разностная схема для решения уравнения для невязкой жидкости, такая, что G1 1, обладает ошибкой, обусловленной искусственным или численным затуханием. В любой сходящейся разностной схеме эта ошибка должна, конечно, стремиться к нулю при Дд - 0, Ai-vO, но применение метода фон Неймана показывает, что схема чехарда при и — onst и С 1 обладает нулевой ошибкой, обусловленной затуханием, даже при конечных Ах и Аг/. [c.88] Однако при практических гидродинамических расчетах, когда скорость меняется в пространстве, ограничение иа шаг будет определяться (если не учитывать дополнительные усложнения, обусловленные нелинейностью) наибольшим значением и в узловых точках сетки. Значит, вообще говоря, нельзя получить С = 1 во всех точках. Но при С 1 разностная схема чехарда уже не будет давать точного решения. [c.89] Прежде всего вопреки результатам метода фон Неймана рассматриваемой схеме может быть присуще некоторого рода численное затухание, хотя это обычно не допускается. На рис. 3.10 представлены трехмерные графики величины рассчитанной по схеме чехарда при синусоидально меняющейся на входной границе потока величине ЦО,/)=51п . При С = 1, как видно на рис. 3.10, а, получается точное решение с синусоидальным законом на входной границе, которое переносится за счет конвекции без затухания. На рис. 3.10,6 построена диаграмма, рассчитанная с вдвое меньшим шагом по времени, т. е. при С = /г. Ясно видно, что в этом случае максимум амплитуды первого горба уменьшается по мере движения вниз по потоку. Рис. 3.10,0 снова соответствует С = Д, но период изменения на входной границе и величина шага по времени выбраны таким образом, чтобы их отношение (и шаг Ах) были такими же, как и для рис. 10, а в этом случае затухание очень сильное. [c.89] Основываясь на рис. 3.10, можно сделать и другое очень интересное заключение. Обычно не обращают внимания на то, что при решении конечно-разностных уравнений для задач, аналогичных представленной на рис. 3.10, существует два характеристических параметра. Первый параметр представляет собой число Куранта, которое является единственным параметром при решении конечно-разностного уравнения во внутренних точках. Вторым параметром является сеточная частота N = = 2я/А , т. е. число временных слоев за период изменения функции на входной границе потока. [c.92] Схеме чехарда присущи также другие ошибки и аномалии. Дифференциальное уравнение (3.144) является уравнением первого порядка по пространственным переменным и по времени для всех л О, О решение полностью определяется заданием начальных условий (х, 0) и граничных условий (0, О-Но для начала вычислений при помощи дискретного аналога (3.145) требуется два набора начальных условий, так как для расчета значений на ( г + 1)-м слое необходимы значения на п-и и (п — 1)-м слоях. [c.92] Таким образом, правильнее говорить, что схема чехарда при С = 1 сохраняет, а не дает точное решение, заданное на первом временном слое, для всех времен. [c.93] Опыт расчетов показывает, что явления, продемонстрированные на этой модельной задаче с постоянной скоростью конвекции, возникают также и в нелинейных задачах. Таким образом, в практических расчетах всегда имеется возможность расчленения решения по временным шагам (Лилли [1965]), когда развиваются два несвязанных расчлененных решения, чередующихся на каждом шаге. Заметим, что, поскольку ( / / — О, изменение временного шага не приведет к изменению двух расчлененных решений Лилли [1965] указал, что такая неустойчивость , связанная с расчленением решения по временным шагам, по всей видимости, развивается при приближении к стационарному состоянию. Автор настоящей книги также сталкивался с этим явлением в случае уравнений для плоского течения даже при наличии вязкости. При решении задачи об обтекании обратного уступа за счет вязких членов (которые не могут быть рассмотрены с помощью схемы чехарда , см. разд. 3.1.7) возникла тенденция свести воедино два расчлененных решения, но при приближении к стационарному состоянию расчлененные решения развивались даже при столь малом значении числа Рейнольдса, как Ке = 100 2). [c.94] Схема чехарда , рассмотренная для конвективных членов, применима также для течений с малыми Ке (Хын и Макано [1966]) и для течений невязкой жидкости при условии, что точное начальное решение рассчитывается отдельно и что стационарное состояние не достигается. [c.94] Фромм [1967] сообщил, что Минцу [1965 удалось избавиться от такого расчленения решения по временньш шагам (которое он назвал фазовой неустойчивостью), периодически полагая решение на (п—1)-м слое равным решению на п-м слое. Но не ясно, как часто это надо делать, когда начинать и как это повлияет на нестационарное и стационарное решения. Вопрос о свойствах решений, расчлененных по временным шагам, остается открытым. [c.94] Вернуться к основной статье