ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Описание неустойчивости из "Вычислительная гидродинамика " НЫХ производных — разложение в ряд Тейлора, метод полиномиальной аппроксимации, интегральный метод и метод контрольного объема — могут привести к одинаковым разностным выражениям. Это обнадеживает и укрепляет доверие ко всем этим методам. Но в каждом из них имеется некоторая свобода действий, так что выбор метода для вывода конечно-разностного аналога дифференциального уравнения определяет этот аналог не единственным образом. В самом деле, существует много используемых аналогов. Несмотря на то что больщинство из них различается (как может показаться непосвященным) в незначительных деталях, они могут сильно отличаться по своему поведению. По личному мнению автора одним из удивительных аспектов вычислительной гидродинамики является наличие большого числа правдоподобных схем, которые, однако, не работают, как, например, было указано для уравнения (3.17). Это справедливо как для основных (т. е. предназначенных для расчета внутренних точек) разностных схем, так и для схем, предназначенных для расчета граничных точек. [c.51] Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле. Преимущество этого метода заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. Особенно важным это оказывается в тех случаях, когда имеют дело с разреженными газами или с течениями невязкого газа, в которых существуют ударные волны. В этих случаях дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывных решений, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако масса, например, все же сохраняется, и конвективная часть уравнения (3.35) по-прежнему остается справедливой. Но даже и в тех случаях, когда непрерывные решения существуют, в методе контрольного объема внимание сосредоточивается на фактическом выполнении физических законов макроскопически, а не только в неком академическом пределе при Ах и А , стремящихся к нулю. Это лежит в основе понятия консервативности конечно-разностного метода, к обсуждению которого мы переходим. [c.51] Конечно-разностный метод является консервативным, если он обеспечивает выполнение определенных интегральных законов сохранения, справедливых для исходных дифференциаль-иых уравнений. [c.51] Уравнение (3.41) констатирует, что скорость накопления величины I в области Я равна сумме конвективного и диффузионного притоков величины в Я через дЯ за единицу времени ). Требование консервативности заключается в тождественном сохранении в конечно-разностной схеме этого интегрального соотношения. [c.52] Данное уравнение показывает, что скорость накопления величины в области Я в точности равна ) потоку величины в область Я через границы /1 — /г и /2 + /г (это следует также из уравнения (3.41) при а = 0). Таким образом, полученный конечно-разностный аналог сохраняет интегральное свойство, которое выражает формула Остроградского — Гаусса для дифференциального уравнения, и мы будем говорить, что этот аналог обладает свойством консервативности. [c.54] В первом случае консервативность обеспечивается применением метода контрольного объема при выводе конечно-разностных выражений. При использовании консервативной формы конвективный поток величины вытекающий через грань i -f- V2 из контрольного объема с центром в точке i за единицу времени, составляет /2( 1 г + -t-i i+i) и в точности равен конвективному потоку, втекающему через ту же грань в контрольный объем с центром в точке г + 1 за единицу времени. Как показано выше, Б случае неконсервативной формы это не имело бы места. [c.55] Упражнение. Показать, что использование для d ldx выражения (3.12) с центральными разностями при а О обеспечивает консервативность для диффузионных членов. [c.55] что при а о единственный путь обеспечить сохранение суммарного потока в общем случае (когда и является функцией пространственной переменной) заключается в независимом сохранении конвективных и диффузионных членов в неодномерном случае необходимо обеспечить консервативность этих членов отдельно по каждой пространственной переменной. [c.55] Эти соображения мы считаем суш ественными и настоятельно рекомендуем применять консервативные схемы. Однако здесь имеются доводы и за и против, причем примеры численных контрольных расчетов, опубликованные в литературе, не дают возможности сделать однозначный выбор. Обратимся к этим доводам и к результатам контрольных расчетов. [c.56] Свойство консервативности не обязательно связано с повышением точности схемы. Например, неустойчивые решения консервативных уравнений сохраняют свойство консервативности. Более того, неконсервативный метод может быть в некотором смысле точнее консервативного. Например, для представления функций по значениям в узлах сетки можно было бы применять одномерные аппроксимации полиномами высокого порядка и при этом производные по пространственным переменным будут, вероятно, определяться с ошибкой более высокого порядка (см. Томас [1954]). Однако построенная таким образом схема может быть неконсервативной, а если критерий точности включает условие консервативности, то неконсервативная схема окажется менее точной. [c.56] ЛИ консервативность для векторных величин. Лаке [1954] первым использовал в конечно-разностных вычислениях консервативную форму уравнений движения сжимаемого газа, предложенную Курантом и Фридрихсом [1948], и детально исследовал свойство консервативности ). [c.57] Для одномерной нестационарной газовой динамики Ю. П. Попов и А. А. Самарский (Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, 7) предложили полностью консервативные схемы. В схемах такого типа обеспечивается не только сохранение полной энергии, но и выполняются дополнительные балансы по отдельным видам энергии (внутренней и кинетической). — Прим. ред. [c.57] Для того чтобы предостеречь от фетишизации консервативных схем, заметим в заключение, что неконсервативная форма для члена д ад ,/дх)/дх с переменным коэффициентом диффузии может привести к более точным результатам, чем консервативная (см. задачи 3.3 и 3.4). [c.58] Значит, для всех Д/ О приращение Д .- положительно и стремится корректировать отрицательное возмущение е/. [c.60] Если пространственное направление роста е по отношению к и отличается от показанного на рис. 3.6, т. е. если либо О, либо амплитуда е уменьшается по I, то конвективный член становится статически устойчивым, но при достаточно больших Л( еще может иметь место динамическая неустойчивость. В любой реальной задаче начальные ошибки распределены более или менее случайно, и можно быть уверенным, что в некоторый момент времени и в некоторой точке их распределение будет похоже на изображенное на рис. 3.6 катастрофическое распределение. [c.61] Если в уравнение (3.51) входят и конвективный, и диффузионный члены, то они взаимодействуют. Как мы вскоре увидим, для рассматриваемой разностной схемы возникает ограничение на Af, обусловленное диффузионным членом, и другое ограничение на Д/, зависящее от сравнительной величины статически неустойчивого конвективного члена и статически устойчивого диффузионного члена, т. е. от числа Рейнольдса. Эти моменты станут ясны в следующем разделе. [c.61] Вернуться к основной статье