ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элемент в форме прямолинейного стержня из "Стержневые системы как системы конечных элементов " Здесь Ег и От — соответственно модули упругости и сдвига материала стержня —площадь поперечного сечения 1уг, 1хг — моменты инерции поперечного сечения относительно осей у, г - Тхг — геометрический фактор крутильной жесткости поперечного сечения. [c.42] Путем введения защемления в узел I и аннулирования этого узла (рис. 2.9) сделаем элемент несвободным. В данном случае ( = (1 , П = . [c.43] Таким образом, матрица жесткости пакета элементов, соединенных параллельно, равна сумме матриц жесткостей элементов его составляющих. [c.46] Векторы усилий f и на концах элемента е п связаны между собой формулой, аналогичной (2.68) -f (H ) f = 0. [c.47] Если учитывать деформацию всех элементов, то в формуле (2.84) следует выполнить суммирование по всем элементам, т. е. [c.48] 2 были введены основные характеристики для отдельного элемента вг и получены соотношения между ними. Поскольку предполагается, что элементы достаточно простые, нахождение этих характеристик не представляет большого тру-д . Будем считать, что для каждого элемента они известны. [c.49] В настоящей главе рассмотрим совокупность элементов и узлов, образующих стержневую систему. Введем соответствующие векторы и матрицы для этой совокупности. Получим полную и замкнутую систему алгебраических уравнений, разрешающих основную задачу расчета стержневых систем. Под полной системой уравнений будем понимать такую систему, в которую входят все искомые неизвестные основной задачи, т. е. все узловые перемещения и усилия. [c.49] Рассмотрим совокупность элементов и узлов, образующую заданную стержневую систему. Пронумеруем в определенной последовательности все элементы и узлы. Первоначально будем считать, что элементы могут быть не связаны между собой. Для простоты предположим, что местные оси координат для каждого из элементов и единые для всей стержневой системы совпадают. Общее число элементов обозначим М, а узлов — N. Введем следующие векторы и матрицы, относящиеся к совокупности не связанных между собой элементов. [c.49] Размерность вектора Н обозначим Ын. [c.51] Рассмотрим теперь совокупность элементов, связанных между собой в узлах. Другими словами, будем считать, что каждый из узлов обеспечивает равенство соответствующих узловых перемещений для элементов, сходящихся в этом узле. Введем векторы, относящиеся к совокупности связанных таким образом элементов и узлов, образующей стержневую систему. [c.52] Введем вектор I суммарных узловых усилий, действующих со стороны каждого узла на все элементы, ему принадлежащие. Блочный к-й компонент этого вектора есть сумма векторов узловых усилий по всем элементам, содержащим узел к. В свою очередь на сами узлы действует вектор усилий —Усилия, составляющие вектор f, являются внутренними для стержневой системы в целом. [c.52] Векторы я и I имеют одинаковую размерность Ып и, кроме того, соответствуют друг другу по последовательности расположения компонентов по узлам и направлениям. [c.53] Если все типы векторов относить к совокупности связанных между собой в узлах элементов, образующих рассматриваемую стержневую систему, то между некоторыми из них, принадлежащими к разным типам, можно установить важные связи. [c.53] Пусть векторы я и я относятся к совокупности связанных между собой в узлах элементов, образующих стержневую систему. Для такой системы в узлах выполняется условие неразрывности перемещений. Тогда, если задан вектор я, то по нему можно единственным образом построить вектор я. При этом блочные компоненты вектора я для данного узла и различных элементов равны между собой. Кроме того, они должны быть равны блочному компоненту вектора я. относящемуся к данному узлу, т. е. [c.54] Чтобы уяснить характер матрицы Г и способ ее построения, обратимся к примеру. [c.54] Равенство (3.7) имеет место только в том случае, если выполняется условие неразрывности перемещений в узлах. Оно является по существу уравнением неразрывности для совокупности элементов, образующих стержневую систему. В (3.7) основную роль играет матрица Г, которая накладывает на компоненты вектора я условие типа (3.6) в каждом из узлов системы. В свою очередь (3.6) есть условие соединения соответствующих элементов в узле. Тем самым матрица Г осуществляет в (3.7) соединение элементов между собой в узлах. Поэтому будем называть Г матрицей соединений. [c.56] Скалярное произведение вектора перемещений на вектор усилий представляет собой работу. Отсюда второе равенство (3.12) вытекает также из равенства суммарной по всем элементам работы векторов на узловых перемещениях я и суммарной по всем узлам работы векторов на перемещениях узлов я . [c.58] Матрица Н разворачивает вектор Н в вектор большей размерности д. [c.59] Введенные выше векторы и матрицы, а также установленные связи между ними позволяют записать полную систему разрешающих уравнений для основной задачи расчета стержневых систем. Эти уравнения можно разделить на три группы. Первую группу составляют уравнения равновесия узлов и элементов под действием узловых усилий. Вторая группа является уравнениями неразрывности перемещений в узлах. Третья группа уравнений представляет собой закон упругости, связывающий между собой узловые перемещения и усилия. Такое подразделение разрешающих уравнений характерно для любого раздела механики твердого деформируемого тела. Как и сами уравнения, оно связано с механическими, геометрическими и физическими принципами, которые лежат в основе рассматриваемых задач. [c.59] Прежде чем переходить непосредственно к уравнениям, введем наряду с единичной матрицей Е диагональную матрицу Е]. Порядок Е] примем равным размерности вектора я. Каждому диагональному элементу Е] сопоставим узел и направление перемещений в том же порядке, как и в векторе я. В тех узлах и направлениях, где заданы перемещения, соответствующий диагональный элемент Е1 равен нулю, а остальные элементы — единице. Обозначим через Ег диагональную матрицу, дополняющую Е] до единичной, т. е. Е=Е1- -Е2. [c.59] Вернуться к основной статье