ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейные уравнения акустического типа из "Уединенные волны в плазме и атмосфере " Основу современной теории нелинейных волн составляют модельные уравнения. Наиболее известное из них - уравнение Кортевега—де Фриза (УКдФ), полученное для описания нелинейных волн на мелкой воде. [c.29] В дальнейшем оказалось, что это же уравнение является достаточно общей моделью для одномерных нелинейных волн акустического типа во многих диспергирующих средах, таких как плазма или твердое тело. Было показано, что целый ряд ветвей колебаний (ионно-звуковые и магнитозвуковые волны в плазме, фононы в твердых телах и жидком гелии, магнитоупругие волны в антиферромагнетиках и другие) описывается УКдФ. [c.29] Основной идеей при получении подобных модельных уравнений явилась схема Кортевега - де Фриза, согласно которой при разложении с целью упрощения волновых уравнений общего вида в ряд теории возмущений параметры нелинейности и дисперсии считаются малыми одного порядка. Благодаря этой идее стали универсальными такие понятий, как солитон, самофокусировка, коллапс, чисто квазичастиц, полная энергия волны и др. Указанный метод двойного разложения долгое время не пользовался популярностью из-за необычности и кажущейся трудности исследования получаемых упрощенных уравнений. [c.29] Здесь V — гидродинамическая скорость ионов. Давлением ионов, как и ранее, пренебрегается из-за малости 7/. [c.30] В дальнейшем будем использовать параболическое приближение, считая, что зависимость от первого аргумента гораздо сильнее, чем от остальных. [c.30] Это уравнение известно как уравнение Кадомцева—Петвиашвили (УКП). Здесь а = 1 определяет знак дисперсии. К этому уравнению сводится большой класс уравнений акустических волн как в изотропных, так и во многих анизотропных средах. В случае ионного звука а = — 1, что соответствует средам с отрицательной дисперсией. Положительная дисперсия характерна для капиллярных волн на поверхности жидкости и при определенных условиях - для фононов в жидком гелии. В холодной плазме с 3 1 примером таких волн является быстрый магнитный звук с частотами, много меньшими циклотронной, при распространении под косым углом к магнитному полю. В случае, когда зависимостью от X, у можно пренебречь, т.е. если пакет одномерный, уравнение (2.13) приводится к УКдФ. [c.31] В одномерном случае знак дисперсии не играет большой роли, так как его можно изменить преобразованием подобия. Однако в (2.13) знак дисперсии делит уравнение на два класса, которые не переходят друг в друга. [c.31] 37) следует, что двумерный солитон УКП в трехмерном пространстве неустойчив независимо от того, положителен или отрицателен знак дисперсии по третьей координате. [c.35] В отличие от результатов предьщущего рассмотрения, где было получено, что неустойчивость одномерного солитона в двумерном пространстве определяется знаком дисперсии, здесь неустойчивость в трехмерном пространстве имеет место при любом знаке дисперсии. Это связано с тем, что малые собственные колебания двумерного солитона имеют две сабственные моды колебаний с различной симметрией. [c.35] Поэтому Н можно назвать гамильтонианом УКП. [c.35] Таким образом, квадратичная форма (2.42) ввиду (2.43) не является положительно определенной. Поэтому солитонное решение суть седло-вая точка в пространстве функции. Если допустить, что Я и Р — единственные интегралы трехмерного УКП, то отсюда следует, что трехмерные солитонные решения УКП неустойчивы. [c.36] Самофокусировка может иметь место и в плазме при распространении пучка магнитозвуковых. волн под углом к магнитному полю, не слишком близким к нулю и тг/2. Для описания этого случая можно воспользоваться УКП в форме, удобной для решения задач с начальными условиями. Для исследования самофокусиров си необходимо вывести упрощенное уравнение, пригодное для задач ( граничными условиями. [c.37] Это уравнение совпадает с УКП при перестановке аргументов и описывает распространение волны направо от плоскости 2=0, где задается соответствующее граничное условие. Самофокусировка как и коллапс происходит только при а 0. Отметим отличие самофокусировки от коллапса. В первом случае задаются граничные условия, локализованные по д , и периодические по времени, а во втором задаются начальные условия, локализованные по всем координатам. Поэтому при самофокусировке возможен режим в виде стащ1онарного сжимающегося волнового пучка. Однако из-за возможной неустойчивости этот режим из стационарного может перейти в пульсирующий с хаотическим распределением параметров. [c.38] В стационарном режиме возможно дальнейшее упрощение задачи с помощью перехода к укороченным уравнениям Уизема [2.17], что сделано в [2.18]. На рис. 2.2 приводится ход самофокусировки при удалении от источника в рамках УКП в приближении Уизема. К сожалению, в [2.18] ошибочно принималось, что магнитный звук имеет положительную дисперсию и при распространении поперек магнитного поля. На самом же деле, как отмечалось в [2.19], пш распространении поперек магнитного поля в интервале углов а /р дисперсия магнитного звука отрицательна и самофокусировка не происходит. [c.38] Здесь / нелинейный интегральный оператор, действующий на /, а, Х — некоторое собственное число задачи. Оно определяется из условия, что уравнение (2.46) должно иметь достаточно гладкое решение, стремящееся к нулю на бесконечности. [c.39] При этом одновременно стабилизирующий множитель 5 с ростом числа итераций стремится к 1. [c.40] Если уравнение солитона сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, то этот метод по точности уступает другим. Если же нелинейное уравнение содержит производные высокого порядка или оно дано в частных производных, его лучше решать этим методом. В [2.6] найдено аналитическое решение (2.47), приведенное в 2.2. Сравнение результатов счета по методу стабилизирующегося множителя с этим решением показывает их хорошее согласие, что дает основание для использования этого метода для исследования и других, более сложных случаев. Эти случаи рассмотрены в следующем параграфе. [c.40] Поправки к интегрируемым уравнениям могут дать качественно новые эффекты, так что их иногда следует учитывать, даже если они малы. К таким поправкам относят поправки к дисперсии. Если поправочный член ослабляет дисперсию, солитон может стать неустойчивым или излучающим. Последнее означает, что уравнение с поправкой может не иметь строго стационарных уединенных решений. Если поправка усиливает дисперсию, могут появиться мультисолитонные решения. [c.42] Вернуться к основной статье