ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейное трение из "Введение в теорию механических колебаний " Точное решение этого нелинейного дифференциального уравнения получить в замкнутой форме невозможно, но суш ествует ряд способов, позволяюш их построить приближенное аналитическое описание движения. Изложим некоторые из них. [c.46] Полученное выражение равно изменению энергии системы за рассматриваемый цикл. Так как в начале и конце рассматриваемого цикла кинетическая энергия равна нулю, то изменение полной энергии определяется изменением потенциальной энергии П конечно, при вычислении этого изменения необходимо учесть разницу между наибольшими отклонениями Л(0) и А Т). [c.47] При интегрировании этого уравнения нужно различать два случая когда га = 1 и когда n =i. [c.48] Конкретный вид этой зависимости определяется значением показателя п. [c.49] огибающая имеет вид гиперболы. [c.49] С помощью решения (2.28) можно получить огибающую и для другого важного частного случая, когда га = 0. [c.49] Зависимости логарифмического декремента от амплитуды колебаний схематически показаны на рис. 2.6. [c.50] Рассмотрим решение уравнения (2.32) по методу медленно меняющихся амплитуд для общего случая, а затем вернемся к частному случаю (2.33). [c.51] В зависимости от свойств вновь введенных функций A t) и ф(i) зависимость (2.34) может оказаться более или менее близкой к гармоническим колебаниям с частотой Ло- При постоянных Л и ф выражение (2.34) совершенно точно описывает гармонические колебания. В случае, когда А и ф — почти постоянные , т. е. медленно меняющиеся функции времени, выражение (2.34) описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой этот случай типичен для систем со слабой нелинейностью, в частности для рассматриваемых здесь систем. [c.51] Конечно, при интегрировании в правых частях величина А считается постоянной. Именно эта операция усреднения составляет существо метода медленно меняющихся амплитуд. [c.52] Таким образом, нужно прежде всего вычислить интегралы (2.42) в предположении, что А — постоянная велит чина. После этого интегрируются дифференциальные уравнения (2.41) конечно, на этом этапе выкладок уже признается, что величина А — переменная. [c.53] Если теперь заменить а — с]к, то мы вновь придем к уравнению (2.24), полученному выше методом энергетического баланса в предположении, что к к . Следовательно, дальнейшее решение приведет вновь к уравнению для огибающей (2.28). [c.53] Хотя В данном случае метод медленно меняющихся амплитуд не дал новых результатов, но ниже мы увидим, что он окажется весьма полезным при решении других нелинейных задач. [c.54] Вернуться к основной статье