ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сильная G-сходимость операторов теории упругости из "Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред " Следующая теорема устанавливает существование и оценку решений задачи (8.11) при быстро убывающих правых частях. [c.74] Пусть и х)—решение задачи (8.11), существование которого утверждается в теореме 8.3 при Р(0, и)=д. Докажем, что для этого решения справедливы оценки (8.24), (8 25). Сначала проверим, что для и х) выполнены оценки (8.4). Действительно, для /= =0,неравенства (8.12) имеют место при б=Л. Следовательно, для и х) неравенства (8.13) справедливы при б1=ЗЛ/4 б. [c.74] Из (8 13) следует, что оценки (8 4) выполнены при бо=Л/4. Таким образом, выполнены все условия теоремы 8.1 и, значит, имеют место неравенства (8.5), (8.6). [c.75] Для вектора Соо в оценке (8 25) может быть получена явная формула, выражающая Соо через fi, j=0.n, и значения и х) на Го- При этом нам потребуются вспомогательные вектор-функ-ции V , г=1.п, существование которых обеспечивается теоремой 8.3. [c.75] Таким образом, устремляя в (8.32) s к оо, получаем формулу 8 30). Теорема доказана. [c.77] С задачами усреднения операторов теории упругости, которые рассмотрены в гл. II, тесно связано понятие сильной О-сходимо-сти. Вопрос о О-сходимости и сильной О-сходимости исследовался во многих работах, начиная с работ [148 149] С. Спаньоло бО-х годов (см. [116—118] и обзор [22]). [c.77] Матрицы Г (ы ),Г(ы ) со столбцами уё, у , i = , . ... п, иногда называются обобщенными градиентами, или потоками. [c.79] Важную роль в исследовании сильной G-сходимости играет следующее условие N [22]. [c.79] Кроме того, система уравнений, коэффициенты которой определяются матрицами Ачр, также принадлежит классу Е ли хг). [c.79] Поэтому оХ2- -0 при е- 0 вследствие (9.6) и (9.7). Из (9.6) вытекает, что с7з- 0 при е- 0, а из условия N2 вытекает, что оХ при 8- 0 стремется к левой части равенства (9.4). Таким образом,, формула (9.4) доказана. [c.80] Покажем теперь, что матрицы принадлежат классу (х1 Хг). Это означает, что их элементы а /(х) удовлетворяют соотношениям (3.2), (3.3). [c.81] Равенство а% = а вытекает непосредственно из равенств (3 2) для элементов матриц А1 и условия N2 Для доказательства равенства а 1,=а1, остается показать, что Лр9= Л9р). Это равенство есть следствие формулы (9.4) и соотношения А = (А у, которое выполнено в силу (3 2) для элементов матриц АЧ х). [c.81] Отсюда в силу произвольности ф вытекает первая оценка (3.3). [c.82] Теорема 9.2. Пусть для последовательности операторов теории упругости З е выполнено условие N. 2 Е х, хг) и постоянные Ки Х2 0 не зависят от е. Тогда при е- -0 последовательность сильно О-сходится к оператору теории упругости 2, коэффициенты которого задаются матрицами А (х) из класса Е К, К2). [c.83] Это означает, что 7 (л ) — обобщенное решение задачи (9 23). [c.85] Как вытекает из только что приведенных рассуждений, из лю-бойг последовательности (ы , у .У -) можно выбрать подпоследовательность, такую, что и - и слабо в Н1(Щ, слабо в L Q) при е -)-0, т. е. последовательность операторов 2г сильно О-сходится к оператору 2. Теорема доказана. [c.85] Тогда матрицы коэффициентов операторов S и 2 совпадают почти всюду в Q. [c.86] Теорема 9.4. Пусть — последовательность операторов теории упругости классу Е у,, Хг), причем хь К2 0 —постоянные, не зависящие от е, и S — некоторый оператор теории упругости. Тогда условие N для матриц коэффициентов операторов St и S является необходимым и достаточным для сильной G-сходимости при 8- 0. [c.86] В силу равномерной ограниченности элементов матриц А х) к теоремы 3.3 i С, где постоянная С не зависит от е. [c.86] Отсюда следует, что выполнено условие N1 для подпоследовательности е - -0, т. е. Л / - -0 слабо в Я (Q). [c.87] Вернуться к основной статье