ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вторая краевая задача (задача Неймана) из "Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред " Доказательство. Обозначим через Я гильбертово пространство, состоящее из вектор-функций, принадлежащих Я ( 2) и ортогональных в L Q) пространству жестких перемещений 31. За Я можно также взять ортогональное дополнение к 9 в Легко видеть, что правая часть интегрального тождества (3 28) есть непрерывный линейный функционал относительно V на Я, поскольку справедливо неравенство (3.29). Как и при доказательстве теоремы 3.3, с помощью второго неравенства Корна (2 3) и неравенства (3.13) устанавливаем, что билинейная форма в левой части (3 28) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3. Таким образом, по теореме 1 3 существует единственный элемент ыеЯ, для которого справедливо интегральное тождество (3 28) при всех иеЯ. Если ие Й, то левая часть (3.28) равна нулю в силу того, что v)=0 в й, ст(и)=0 на (9й. Правая часть (3.28) равна нулю при ие91 в силу условий (3.30). Поэтому интегральное тождество (3.28) выполнено при всех иеЯ (1Й). Оценка (3.31) вытекает из (3 28) при v=u, второго неравенства Корна и неравенств (3.13), (3.29). Теорема доказана. [c.36] Замечание 3.7. Так же, как и для обобщенного решения задачи Дирихле, можно доказать гладкость обобщенного решения задачи Неймана, предполагая достаточную гладкость коэффициентов системы а (х), границы области Й и данных задачи ф,/ (см. [99]). [c.36] Вернуться к основной статье