ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Второе неравенство Корна из "Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред " Следуя работе [45], приведем здесь простое доказательство второго неравенства Корна для липшицевой области. При этом важную роль играют следующие две леммы. [c.18] Предполагаем, что О — ограниченная область в Я с липшицевой границей. Через р(д ) обозначается расстояние от точки х до 0, через Д — оператор Лапласа. [c.18] Доказательство. Функция р(х) удовлетворяет неравенству р(х)—р(г/) —у для любых X, г/еО. Действительно, обозначим через 2у точку на й, такую, что р у) = у— у. Тогда р х)—р у) х гу — у—гу х—гу—у + гу. Таким образом, функция р(х) удовлетворяет условию Липшица в О и, значит, [93] имеет ограниченные обобщенные производные в й первого порядка. [c.18] ДЛЯ любой области О, такой, что СсО, причем постоянная Сз не зависит от О. Отсюда следует, что рУуе12(й) и выполняется оценка (2.4). Лемма доказана. [c.19] Отсюда вытекает оценка (2.5), поскольку р(- ) б 0 в Оо . Лемма доказана. [c.21] Теорема 2.4 (второе неравенство Корна). Пусть й — ограниченная область с липшицевой границей. Тогда для любой вектор-функции иеЯ (О) справедливо неравенство (2.3) с постоянной С, зависяш,ей только от Q. [c.21] Учитывая (2.11), отсюда выводим неравенство (2.3). Теорема доказана. [c.22] Покажем, что отсюда следует, что ие 91. Рассмотрим усреднения вектор-функции V. [c.23] Поэтому у =а /Х + 0(, где а /, of—постоянные, причем af/= —af/. Так как u сходятся к u в H G) при 6-+-0, то ие 9I. Таким образом, у ячп) = 1 а это противоречит условию Ffi3i=(0 . Теорема доказана. [c.23] Приведем другие примеры пространств V, для которых выпол- нено неравенство (2.14) и которые будут неоднократно использоваться при изучении краевых задач для системы теории упругости. [c.23] Теорема 2.7. Пусть Q — ограниченная область, имеющая липшицеву границу. Пусть у лежит на dQ и представляется в виде Xn=(f ), где f=(xi,. .., x i) пробегает открытое множество в R , ф(х) — непрерывная функция. Тогда для любой вектор-функции иеЯ ( 2, y) выполняется неравенство (2.14). [c.23] Вернуться к основной статье