ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Критерий устойчивости из "Введение в теорию колебаний " Признаки, позволяющие делать заключение об устойчивости системы без решения дифференциальных уравнений движения, называют критериями устойчивости. Весьма удобный критерий устойчивости, опирающийся на соотношения между коэффициентами характеристического уравнения, был дан в 1877 г. Раусом и в 1895 г. в измененной, но более удобной форме Гурвицем. [c.210] Коэффициентный критерий устойчивости определяется теоремой Гурвица для того, чтобы все корни уравнения (4.14) были устойчивы, необходимо и достаточно, чтобы все определители (4.15) были положительны. [c.211] Легко видеть, что как в случае действительных отрицательных, так и комплексных корней с отрицательной вещественной частью, должно быть Ах 0, Л2 О, т. е. 0. [c.212] Положим, что на границе устойчивости г = 0. Тогда Лд = 0. Обратно, изменение знака А свидетельствует об изменении распределения корней по областям устойчивости и неустойчивости. [c.212] Написанное равенство возможно лишь в том случае, если -Л,у2 Лз = 0 (/-Л2)у=.0. [c.212] Если все вещественны и отрицательны, то, очевидно Л1 0 Лз 0 Л3 0. [c.213] Следовательно, положительность коэффициентов есть необходимое условие устойчивости, однако это условие не является достаточным. Для вывода достаточного признака сделаем сначала предположение, что при наличии двух устойчивых корней — действительных или комплексных — один действительный корень переходит из устойчивой области в неустойчивую. Очевидно, при этом Лд, перейдя через нуль, станет отрицательным. [c.213] Следовательно, при переходе комплексных корней в неустойчивую область (е 0) дискриминант Рауса делается отрицательным. [c.213] Если все три корня переходят через границу устойчивости, то меняют знак не только з, но также и А . [c.214] Можно убедиться, что при всех устойчивых корнях эти коэффициенты положительны. Предположим теперь, что по крайней мере один из корней переходит в неустойчивую область. Если это произойдет с одним действительным корнем, то меняет знак по крайней мере коэффициент Л4, то же будет при одновременном переходе через границу устойчивости трех корней. При всех неустойчивых корнях по крайней мере Л 0. [c.214] знак 4 совпадает со знаком е, т. е. в устойчивой области дискриминант положителен. [c.215] Для уравнения высших степеней вывод условий устойчивости получается уже значительно более сложным. [c.216] Определить области значения неизвестного пока коэффициента к, чтобы система была устойчива. [c.216] Вернуться к основной статье