ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение некоторых элементарных задач на прямую линию и плоскость (фиг из "Начертательная геометрия " Задача первая. Дана точка (фиг. 4) своими проекциявли П и 1 и прямая проекциями АВ и аЬ построить проекции другой прямой, проходящей через данную точку параллельно первой. [c.33] Остается только найти для каждого из них только одну из точек, через которую он должен проходить. Для этого проведем через данную точку горизонтальную прямую, лежащую в искомой плоскости эта прямая будет параллельна следу АВ и пересечет вертикальную плоскость в точке, которая будет одной из точек вертикального следа искомой плоскости ее проекции получатся, если провести через точку g неопределенную горизонталь а через точку С прямую С/, параллельную аЬ. Если продолжить 01 до ее встречи в точке / с пересечением двух плоскостей проекций ЬМ, то эта точка будет горизонтальной проекцией пересечения горизонтальной прямой с вертикальной плоскостью. Следовательно, эта точка пересечения будет находиться на вертикали IF, проведенной через точку /. Но она должна также лежать на gF следовательно, она совпадает с точкой / пересечения двух последних прямых. Наконец, если через точку Г провести прямую, параллельную ВС, то она и будет следом искомой плоскости на вертикальной плоскости, и если, продолжив этот след до пересечения с ЬМ в точке Е, проведем ЕО параллельно АВ, то получим след той же плоскости в горизонтальной плоскости. [c.35] Вместо того чтобы рассматривать горизонтальную прямую в искомой плоскости, можно было бы рассматривать прямую, параллельную вертикальной плоскости, что после совершенно аналогичного рассуждения привело бы к следующему построению. [c.35] Проведем через точку О неопределенную прямую ОО параллельно ЬМ через точку g проведем дН, параллельно СВ, и продолжим ее до пересечения с ЬМ в точке Н, через которую проведем НО, перпендикулярно ЬМ , эта последняя пересечет ОО в точке 0 проведенная через нее прямая, параллельная АВ, будет одним из следов искомой плоскости и если, продолжив этот след до пересечения с ЬМ в точке Е, проведем ЕЕ параллельно ВС, то получим ее след на вертикальной плоскости. [c.35] То же самое доказательство справедливо и для вертикальной проекции. [c.36] После того как найдена вертикальная проекция д основания перпендикуляра, легко построить и горизонтальную проекцию если мы опустим на ЬМ неопределенный перпендикуляр дС, искомая точка будет лежать ва этой прямой но она должна лежать и на прямой ВЕ, и, следовательно, будет точкой С пересечения этих двух прямых. [c.37] Еслн бы речь шла о нахождении точки пересечения плоскости с прямой, надо было бы рассуждать совершенно так же, как в предыдущем случае. [c.38] Наконец, если бы надо было опустить перпендикуляр из данной точки на прямую, мы построили бы, как изложено выше, пересечение прямой с плоскостью, проведенной перпендикулярно ей через данную точку, и нашли бы для каждой проекции искомого перпендикуляра две точки, через Фиг. 7. которые она должна проходить. [c.38] Горизонтальный след этой третьей плоскости будет перпендикулярен к проекции Ef пересечения двух заданных плоскостей и образует вместе с двумя другими прямыми Треугольник в котором угол, лежащий против горизонтальной стороны, и будет искомым углом. Нужно только построить этот треугольник. [c.40] Безразлично через какую точку пересечения двух первых плоскостей проходит третья следовательно, можно произвольно выбрать ее след на горизонтальной плоскости, лишь бы он был перпендикулярен Ef. Проведем произвольную прямую ОН перпендикулярно /, пересекающую в точках Си// следы двух заданных плоскостей и в точке 1 прямую Ef, и примем ее за основание треугольника, который мы должны построить. Действительно, заметим, что для совмещения с горизонтальной плоскостью надо вращать плоскость этого треугольника вокруг своего основания ОН, как на шарнире в этом движении его вершина, сначала расположенная на пересечении обеих плоскостей, все время остается в вертикальной плоскости, проведенной через это пересечение, потому что эта вертикальная плоскость перпендикулярна С// после того как плоскость треугольника совместилась с горизонтальной плоскостью, его вершина будет лежать на одной из точек прямой Ef. Следовательно, остается Только найти высоту треугольника или величину перпендикуляра, опущенного из точки / на пересечение обеих плоскостей. [c.40] Прежде чем перейти к решению, заметим, что если данные прямые пересекаются, то точка А пересечения их горизонтальных проекций и точка а пересечения их вертикальных проекций будут проекциями точки пересечения прямых и, следовательно, будут лежать на одной и той же прямой аСА, перпендикулярной LM. Если обе точки Аи а не находились бы на одном перпендикуляре к LM, то заданные прямые не пересекались бы, и, следовательно, не лежали бы в одной плоскости. [c.41] После этого проведем прямую ОЕ, которая вместе с отрезками заданных прямых, заключенными между их точкой пересечения и точками О . Е, составляют треугольник, угол которого, противоположный ОЕ, и будет искомым углом следовательно, все сводится к построению этого треугольника. Опустим из точки А на ОЕ неопределенный перпендикуляр АР и рассмотрим вращение треугольника вокруг его основания ОЕ, как на шарнире, до совмещения с горизонтальной плоскостью вершина этого треугольника во время его движения будет оставаться в вертикальной плоскости, проходящей через АР, и ляжет на продолжении РА в некоторой точке Н, расстояние которой от основания ОЕ должно быть определено. [c.42] Но горизонтальная проекция этого расстояния есть прямая АР и высота одного из ее концов над другим равна аС, поэтому аналогично фиг. 3, отложим на ЬМ отрезок Gf, равный АР, и построим гипотенузу а/ эта гипотенуза и будет искомым расстоянием. Наконец, если отложить PH равным а/ и через точку Н провести две прямые НО и НЕ, то треугольник будет построен, и угол ОНЕ будет искомым углом. [c.42] Решение. Если опустить перпендикуляр из некоторой точки прямой на заданную плоскость, то угол, составляемый этим перпендикуляром с заданной прямой, будет дополнением искомого угла для решения вопроса достаточно построить этот угол. [c.42] Задача девятая. Даны угол, составленный двумя прямыми и два угла, образованные этими прямыми с горизонтальной плоскостью проекций. Построить горизонтальную проекцию первого из этих углов. [c.43] Это последнее расстояние лежит в плоскости рассматриваемого угла. Если, следовательно, провести прямую с / таким образом, чтобы угол В(1В был бы равен измеренному углу, и отложить отрезок сЮ, равный С, то прямая ВВ будет равна этому расстоянию. [c.44] Поэтому, если из точки В, как из центра, провести дугу круга, радиусом, равным ВО, то точка Е, где эта дуга пересечется с первой дугой СЕР, будет точкой встречи второй стороны с горизонтальной плоскостью следовательно, прямая АЕ будет горизонтальной проекцией этой стороны, и угол ВАЕ—горизонтальной проекцией измеренного угла. [c.44] Девяти рассмортенных вопросов едва ли достаточно, чтобы дать представление о методе проекций они не могут показать всех его возможностей. Однако, по мере того как мы поднимаемся до более общих соображений, мы осуществим операции, наиболее отвечающие нашей цели. [c.44] Вернуться к основной статье