ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ошибки возмущений из "Метод конечных элементов для уравнений с частными производными " Конечноэлементное решение называется оптимальным, если для него порядок ошибок возмущений не превосходит порядка ошибки аппроксимации (Нитше, 1972). [c.135] В своем исследовании квадратурных ошибок Хеболд и Варга (1972) назвали квадратурную формулу совместимой, если в результате ее применения получается оптимальная аппроксимация. [c.135] Оценки ошибок интегрирования, осуществляемого численно с помощью стандартных квадратурных формул, были рассмотрены в упражнениях 6 и 7 разд. 5.1. В этом разделе мы рассмотрим этот вопрос более детально и получим оценки, справедливые при некоторых типах нелинейности в преобразовании, отображающем То на Г. [c.135] Ф е Ж2 (Я). Предположим далее, что область Я разбита на 5 элементов Г/ (/ = 1,. .., 5) и что для каждого элемента существует преобразование Р/, отображающее на него стандартный элемент якобиан преобразования Р/ обозначим через /у. [c.136] Упражнение 20. Докажите, что если используются треугольные изопараметрические элементы степени к, то на каждом треугольнике функции /, J (dwh/dx) и J dWh/dy) будут полиномами степени 2( —1) для любой пробной функции Wh- Докажите, что в общем случае JWh Р3А-2 на каждом треугольнике. [c.138] Сделав предположение о полиномиальности J(p)dWh/dx, J(p)dWh/dy и J(p)Wh на каждом элементе, можно получить оценки возмущений (5.26) и (5.27). [c.138] Просуммировав по всем элементам и поделив на Wh i.R, получим (5.28). [c.139] Объединяя (5.30) с (5.31), суммируя по всем элементам и деля на WhWi, R, получим желаемый результат. [c.140] Результаты, аналогичные теореме 5.5, были получены Фиксом (1972) при изучении влияния квадратурных формул на лагранжеву и эрмитову конечноэлементные аппроксимации на многоугольной области. Квадратурные формулы исследовались также Хеболдом и Варгой (1972), но только для прямоугольных областей и в предположении, что билинейная форма ап проинтегрирована точно. [c.140] Сьярле и Равьяр (1972с) применили результаты теоремы 5.5 к изопараметрическим аппроксимациям, определенным как на треугольниках, так и на четырехугольниках. Они показали также, как выбрать такую квадратурную формулу, чтобы билинейная форма ап была эллиптична в Кп, и тем самым можно было обосновать применение оценки (5.17). [c.140] Упражнение 22. Используя результаты упражнения 20, покажите, что изопараметрическая аппроксимация степени к оптимальна, если используется квадратурная формула, степень точности которой равна А к— 1). [c.141] Результаты этого раздела могут быть применены и в случае неоднородных граничных условий, если, как и в разд. 5.1, граничные значения допускают подходящее продолжение. Возможен и другой подход, использующий для оценки ошибок теорему 5.3. [c.141] Упражнение 25. Покажите, что оценка ошибки возмущения (5.44) справедлива также для частного вида эрмитовых кубических элементов, предложенных Скоттом (1975). [c.147] Этот порядок аппроксимации может оказаться существенно ниже того, который получился бы только на основании результатов разд. 5.3, и происходит это из-за плохой аппроксимации вблизи границы иногда это понижение интерпретируют, как эффект приграничного слоя. Можно воспользоваться принципом максимума, чтобы показать, что при наличии негладкой границы возмущения будут меньше внутри Я. Некоторые результаты такого рода могут быть распространены на тот случай, когда Ян ф Я. Свойства сходимости конечноэлементных аппроксимаций вовне области изучались Нитше и Шатцем (1974), а также Брамблом и Томе (1974). [c.148] Результат немедленно следует из неравенства (5.49) и теоремы 5.4 при г = О, 1 и 2. [c.150] Упражнение 26. Покажите, что (5.51) выполняется для кусочно-линейных несогласованных элементов, описанных выще. [c.152] Отметим, что в разд. 7.2 будет показано, что (5.51) представляет собой кусочное тестирование несогласованных элементов для задач второго порядка. Сьярле (1973) получил аналогичные результаты для элементов, связанных с задачами об изгибе пластины. Сравнительный анализ несогласованных элементов для задач об изгибе пластины имеется у Ласко и Лесена (1975). [c.152] Упражнение 27. Предполагая выполненным условие (5.51), примените лемму Брамбла — Гильберта к функционалу (5,50) и докажите тем самым справедливость оценки (5.52). [c.152] Вернуться к основной статье