ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ из "Метод конечных элементов для уравнений с частными производными " В этой главе через С обозначается положительная постоянная, своя для каждого конкретного случая. [c.112] Обычно базисные функции определяются на стандартном элементе То, который может быть единичным квадратем или прямоугольным треугольником с единичными катетами, а затем вводится точечное преобразование для построения базисных функций на произвольном элементе Т (ср. с гл. 4). Поэтому естественно получать оценки погрешностей на стандартном элементе, если только они допускают обобщение на произвольные элементы. [c.117] Заметим, что это условие предполагает положительность якобиана для всех Р е Го. В гл. 4 было показано, что якобиан всегда положителен, если отсутствуют так называемые запрещенные элементы. [c.118] Сочетание леммы Брамбла — Гильберта с условием регулярности применяется главным образом (но, не исключительно) для оценки погрешности интерполяции. Столь же успешно это сочетание можно использовать для оценки ошибок, возникающих в результате применения численных квадратур, основанных на конечноэлементных разбиениях области интегрирования. [c.119] В упражнениях 6 и 7 предполагалась линейность преобра-зований, и поэтому /ош(р)е Рг, когда ш(х)еРг. При использовании нелинейных преобразований, как это будет в разделе 5.4(А), необходимо рассматривать такие функции (х), для которых ш(р)/(р) является полиномом. Дальнейшие детали по поводу видоизменения квадратурных формул для интегрирования на произвольных элементах изложены в разделе 5.4(А). [c.120] Докажите далее по индукции, что неравенства (5.7а) и (5.7Ь) останутся верными при г=1, 2,. .., если в них заменить НуЦг, г на I у г. г. [c.121] Для любого элемента Т обозначим через /С[г1 пространство, определяемое теми пробными функциями, которые отличны от нуля на Т. Другими словами, /С[г] есть сужение пространства пробных функций относительно элемента Т. Обозначим через /С[о] пространство таких функций u(p), для которых u(x)e/ [r]. Это пространство /С[о1 имеет особо важное значение при анализе методов конечных элементов. Порядок метода определяется максимальной степенью полинома (по р), для которого ошибка аппроксимации функцией из /С[о] равна нулю. В общем случае эта степень совпадает с таким максимальным к, для которого Я сг /С[о]. [c.122] Например, если рассматривается аппроксимация кусочными кубическими полиномами (Лагранжа или Эрмита) на треугольной сетке (разд. 4.1), то преобразование F будет линейным и /С[о], К[т] = Рз- Для аппроксимации (4.14) (определяемые 18 параметрами полиномы пятой степени со сшивкой в С ) преобразование также будет линейным, но Р4 с /С(о], /([г) с Р5 (строгое вложение), а для биквадратичной изопараметрической аппроксимации (4.29) Рг Кт с (снова строгое вложение), но преобразование уже не будет линейным, т. е. К[т] не будет полиномиальным подпространством. [c.122] Вернуться к основной статье