ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгебраически приводимые системы из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Операторы Li — перестановочные с матрицами Ah т- е. Ал гХ = S LiAjX, i, i = 1, k. Переменные х, у, а изменяются в некоторых областях соответственно Q, fiy, fio i x в R . R fio 6 RO-К уравнениям могут быть добавлены матричные соотношения для граничных и начальных условий. [c.83] Под алгебраической приводимостью системы (6.1) будем понимать возможность ее разбиения на подсистемы меньшей размерности (в совокупности эквивалентные (6.1)) с помощью замены х = Sz, где S — постоянная матрица размерности п X щ z == olon. ... .., Zn 11 — вектор новых переменных. [c.83] Можно привести и многие другие примеры. [c.84] Исследование приводимости общей системы вида (6.1) принципиально ве отличается от исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (см. 1) и сводится к построению порождающей совокупности матриц р С . . Qm), а по ним — обертывающей матричной алгебры й. Поэтому при исследовапии полной приводимости системы (6.1) остановимся еще на одном подходе, отличном от описанного в предыдущих параграфах. [c.84] Теорема 6.1. Система (6.1) алгебраически вполне приводима в том и только в том случае, когда она инвариантна относительно преобразований из группы [р. [c.85] И ИХ всевозможными конечными произведениями. [c.85] В первом блоке матрицы (6.5) есть одинаковых квадратных матриц во втором блоке — одинаковых квадратных матриц и т. д. так как X — произвольный элемент и8 то Л, % — У далее неприводимы. [c.85] Применение каждого из рассмотренных подходов зависит от конкретных условий задачи и сложности реализации получаемых алгоритмов. При этом необходимо учитывать такое общее замечание. [c.85] Недостатком же данного метода является узость класса приводимых в указанном выше смысле систем. Поэтому достоинства метода могут в известной степени компенсировать его недостатки лишь в том случае, когда будут существовать достаточно просто проверяемые априорные критерии приводимости (см, теорему 1,2). [c.86] Случай конечности допускаемой группы. Пусть установлена каким-либо способом нетривиальная группа f всех коммутантов системы равенств (6.4). Наиболее полно исследован случай, когда f — конечная группа т. е. число элементов в группе конечно. Метод приведения матричных конечных групп давно используется в квантовой механике, в частности в теории колебаний молекул Г661. [c.86] Такой подход оказался плодотворным при решении ряда задач механики [34], а также в теории автоматического управления [41 — 43]. [c.86] Остановимся вкратце на идее приведения групповых алгебр fp. [c.86] Замечание 6.1 Совершенно очевидна связь результатов теоремы 6.1 с результатами 1. Поэтому не представляет принципиальных трудностей переформулировка теорем 1.10, 1.21 в терминах допускаемых групп и соответствующих им алгебр. [c.86] Следовательно, Ф Ш и система (6.1) алгебраически приводима. [c.88] Таким образом, исходная система порядка 16 распалась на две независимые подсистемы 10 и 6-го порядков. [c.89] Вернуться к основной статье