ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понижение числа переменных в системе обыкновенных из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Предполагается также, что система (4.1) и ее обертывающая алгебра рассматриваются на многообразии Й (G). [c.69] распадающаяся на п независимо интегрируемых подсистем. [c.69] Прежде чем перейти к формулировке условий приводимости (вполне приводимости), введем некоторые необходимые понятия. Будем рассматривать действие обертывающей группы ( на элементах многообразия (С). Если к х ) — функция из ДГ) (С) и ж = ехр ( X) х — некоторая однопараметрическая подгруппа из (X), то результат действия группы на к, т. е. функция Гх/г, Гх 6 (X), принадлежит (С) (см. 2 гл. 1). Или, если использовать прямую подстановку, к (ехр ( X) х) = ехр ( X) к (ж) й (С). [c.70] Таким образом, множество злементов, где действует группа (Х), — функции многообразия й (С). Функция д (ж ) называется неподвижной точкой множества Й (С) относительно однопараметрической группы ехр ( Х), если имеет место тождество q (ехр ( X) х) шiq x). [c.70] Решения уравнения X/ = О будем называть инвариантами однопараметрической подгруппы (В (X) с оператором X. Если функция д (х) — инвариант групп ( (X) и (V) одновременно, то она удовлетворяет уравнениям Хд (х) = О, (х) = О и, как следует из то/к-дества Якоби (1.6) гл. 1, уравнению [X, ] д (х) = 0. Операторы X, порождают некоторую подалгебру 83. Этой подалгебре соответствует подгруппа 1 Если Х , Х2,. .., Хг — базисные операторы этой группы, то, очевидно, Х, д (х) = О, / = 1, г, и соответственно д (х) — инвариант всех однопараметрических подгрупп И8 1. [c.70] Группа ( называется транзитивной группой преобразования множества Й (G), если для любых двух элементов h x),q (х) S (G) найдется такой элемент T z G что Tz h х) — q (х). Группу, не являющуюся транзитивной, называют интранзитивной. Множество (в рассматриваемом случае многообразие) 0 (G), в котором действует транзитивная группа преобразований называется однородным пространством с группой преобразований Приведем условие транзитивности группы ( . [c.71] Теорема 4.2. Группа (S на многообразии 0 (G), ( 0 (loe G)) тран-зитивна тогда и только тогда, когда базис обертывающей алгебры 9S содержит п линейно несвязных операторов. [c.71] Достаточность. Пусть dim S3 = и. Тогда система уравнений X iP (х) = hi (х),. .., Хпр (х) = hn (ж) всегда имеет решение при произвольном векторе h (х) = hi (х),. .., hn (ж . Действительно, эту систему легко превратить в нормальную, если разрешить ее относительно dpidxi,. .., dpldxn. Предположим, что и (х), v (х) — произвольные функции из 0 (G). Требуется подобрать оператор Z = I X +. .. [c.71] Следствием доказанной теоремы является следующий результат. [c.71] Преобразование Гу = определяется своим оператором . [c.72] Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы оператор [ , X] был связан с базисом алгебры т. е. [c.72] Очевидно, что справедливо также обратное утверждение любому идеалу в ЗЗ сг 33 соответствует нормальный делитель с (й. Если воспользоваться введенной в 4 гл. 1 терминологией, то можно сказать, что идеал допускает операторы из алгебры 33. Подытожим полученный результат в виде теоремы. [c.72] Теорема 4.4. Любому идеалу ЗЗ с 33 соответствует нормальный делитель группы (й и наоборот. [c.72] Множество 0 носит название системы импримитивности, а сама группа называется импримитивной на множестве 0 (С). [c.72] Выясним условия импримитивности группы на о (С). Теорема 4.5. Для того чтобы группа действующая на Й (С), бым импримитивна, необходимо и достаточно, чтобы она имела собственный нормальный делитель а г ф п. [c.73] Тем самым доказано, что 35 (Х) — идеал в Ж и подгруппа (Х) 6 порожденная зтнм идеалом, — нормальный делитель. [c.74] Перейдем к доказательству основных теорем о приводимости. [c.74] Следствие 4.1. Для того чтобы система (4.1) была диагонализи-руема, необходимо и достаточно, чтобы в условиях теоремы 4.6 алгебры . 83 были одномерный их базисные элементы Х ,. ... .., Х коммутировали между собой [Хг, Х ] 0, г, = 1, п. [c.76] Вернуться к основной статье