ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проблема собственных значений из "Начала теоретической физики Механика Теория поля Элементы квантовой механики " Эти операторы будут играть ниже очень важную роль. [c.341] Действительно, физически казалось бы трудно найти какой-либо смысл в соотнесении одному состоянию — другого, найти какое-либо место операции, которая преобразует состояние системы в некоторое новое состояние (Какие-либо аналогии можно протянуть только к изменениям системы под действием преобразований симметрии.). [c.341] Тем не менее мы сделаем теперь физическое допущение Динамическим переменным классической теории соответствуют в квантовом описании линейные операторы в пространстве векторов состояния. При этом вещественным динамическим переменным отвечают эрмитовы операторы. [c.341] Заметим еще, что с чисто алгебраической стороны основное отличие новых динамических переменных от классических — это их некоммутативность. Ниже мы увидим, что как раз это отличие приведет нас к принципу неопределенности. [c.341] СОСТОИТ В недействии на него. Поскольку векторы сопоставляются состояниям с ТОЧНОСТЬЮ до числового множителя, то изображающий динамическую переменную оператор не будет действовать на состояние, если действие этого оператора на соответствующий состоянию вектор сведется к умножению этого вектора на число. [c.342] Если оператор а есть число, а —к, то у него будет единственный EW a — kvi любой вектор будет собственным, принадлежащим этому собственному значению. [c.342] Рассмотрим два собственных вектора оператора принадлежащих разным EW-M. [c.343] На вопрос о существовании рещения проблемы собственных значений для эрмитова оператора к сожалению нельзя дать исчерпывающего ответа. Можно, правда, указать классы операторов, для которых EWP всегда имеет решеиия и притом достаточно много решений, чтобы из собственных векторов можно было построить полную систему, однако эти классы оказываются для квантовой механики слишком узкими. [c.343] Динамические переменные, собственные состояния которых образуют полную систему, мы будем называть наблюдаемыми. [c.344] Дальнейшие подробности нормировки зависят от того, что за векторы сами Р) и Q) и относятся ли они к дискретному или непрерывному спектру какого-либо оператора. [c.345] Более того, в отличие от привычного в математике подхода, вторичным представляется физику и понятие пространства векторов состояния, в котором действуют операторы, — оно возникает для него просто как совокупность векторов, растягиваемых всеми собственными векторами какой-либо наблюдаемой. Именно последнее соображение удерживает нас от того, чтобы точно оговорить свойства рассматриваемого пространства, прежде чем начать изучение операторов, действующих в нем. [c.346] В самом деле, поскольку Rr( ) есть полином степени п, то должен существовать вектор Л) такой, что г Л) Ф О, но (I — r)i r( ) [Л) =0. Следовательно, все векторы / г( )1Л) 0 суть собственные векторы, принадлежащие EW-y Ir ). [c.347] В самом деле, если g — кратный корень (26), ( — s) Ss ( ) Л) = 0 для всех I Л), то для ) = ) Л) мы получим по лемме 1 нз (g — I В) — = 0 (I - I,) I ) = О, откуда (g - Is) Ss (I) Л) = О для всех Л), т. е. удовлетворял бы уравнению степени ниже п. [c.347] Действительно, любой вектор можно разложить по полной системе собственных векторов оператора поэтому, после применения к этому разложению левой части ( ), в каждом члене разложения хотя бы один из множителей в ( ) обратится в нуль. [c.349] Вернуться к основной статье