ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неустойчивость конечных систем из "Физическая кинетика " С положительным (как это ясно из наклона кривых на рис. 24) коэффициентом 01. Сравнение с (64,3) показывает, что имеет место случай В—конвективная неустойчивость (на рис. 24 пунктиром показан ход ветвей спектра с учетом их взаимодействия). [c.339] Вся изложенная в 61—63 теория относилась к однородным средам, бесконечно протяженным по крайней мере в одном направлении (ось х). При применении к реальным ограниченным системам это значит, что пренебрегается эффектами, связанными с отражением волн от границ другими словами, такая теория ограничена временами порядка величины времени распространения возмущения по длине системы. [c.339] Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости в обратной ситуации, когда конечность системы существенна и спектр ее собственных колебаний определяется граничными условиями на концах (при этом мы по-прежнему ограничиваемся одномерным случаем длину системы вдоль оси х обозначим через 1). Спектр частот конечной системы дискретен, и, если хотя бы одна из собственных частот имеет положительную мнимую часть, система неустойчива. Различие между случаями абсолютной и конвективной неустойчивости теряет здесь смысл. [c.339] Таким образом, вопрос о выяснении устойчивости или неустойчивости конечной системы эквивалентен вопросу о нахождении спектра ее (комплексных) собственных частот. Дисперсионное уравнение, определяющее эти частоты, может быть установлено в общем виде для системы хотя и конечных, но достаточно больших размеров I 1ш й -1. 1 А. Г. Куликовский, 1966). [c.339] Оно определяет спектр частот конечной системы, т. е. является ее дисперсионным уравнением. [c.340] То есть это—наименьшее положительное значение, если все 1т (щ) 0, или же наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение, если существуют ветви, для которых 1т (ш) 0. В первом случае (65,1) — наименее быстро затухающая (с расстоянием х) волиа, а во втором — наиболее быстро усиливающаяся. [c.340] Таким образом, в этом случае дисперсионное уравнение сводится к виду, зависящему только от свойств среды самой по себе и не зависящему от конкретного характера условий на ее границах. Уравнение (65,6) определяет некоторую кривую на плоскости со на этой кривой лежат очень близкие друг к другу (при больших Ь) дискретные собственные частоты. Если эта кривая хотя бы частично лежит в верхней полуплоскости —система неустойчива. В связи с тем, что эта неустойчивость обуславливается свойствами системы в целом, ее называют глобальной. [c.341] Сделаем еще несколько замечаний о связи глобальной неустойчивости конечной системы с неустойчивостью бесконечной среды. Прежде всего, легко видеть, что при наличии глобальной неустойчивости бесконечная система заведомо неустойчива существуют такие вещественные значения к, для которых 1т со( ) 0. Действительно, по определению функций к (со) и к (со) их значения при 1тсо— -оо лежат в различных полуплоскостях к. Условие же (65,6) означает, что по мере уменьшения 1т со точки к (со) и к. (ш) могут попасть в одну и ту же полуплоскость, причем (в случае глобальной неустойчивости) это происходит еще при 1т со 0. Следовательно, еще раньше (т. е. заведомо при 1т со 0) по крайней мере одна из этих точек пересечет вещественную ось, что и требовалось. [c.341] Обратное утверждение справедливо, однако, лишь для абсолютной (но не конвективной) неустойчивости бесконечной среды наличие абсолютной неустойчивости достаточно для существования также и глобальной неустойчивости конечной системы. Действительно, условие абсолютной неустойчивости состоит в существовании точки ветвления функции (со) при 1т со О, причем сливающиеся ветви относятся к категориям к+ и в такой точке заведомо выполняется также и условие (65,6). [c.341] Конвективно же неустойчивая среда при наличии границ может оказаться как неустойчивой, так и устойчивой. [c.341] Вернуться к основной статье