ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лиувилля из "Введение в термодинамику Статистическая физика " Для движения систем, подчиняющихся законам механики в форме Гамильтона, если состояние их описывать при помощи канонически сопряженных переменных и р , имеет место теорема Лиувилля. [c.170] Рассмотрим прежде всего формулировку ее для простейшего случая системы с одной степенью свободы, для линейного осциллятора. Пусть в момент = О имеется площадка, запятая на фазовой плоскости изображающими точками некоторой (непрерывной) совокупности систем. При движении данная площадка будет, очевидно, перемещаться и деформироваться. Однако размер ее (площадь) при этом не изменится. [c.170] При повороте 2) площадь не меняется изменения площади при сжатии 3) и растяжении 1) взаимно компенсируются. Таким образом, величина площади остается прежней, хотя форма площади, вообще говоря, изменяется [13]. [c.171] Величина 2п-мерного объема, занятого в определенный момент времени некоторой непрерывной совокупностью фазовых точек, не изменяется при их движении. [c.171] Теорема Лиувилля утверждает, что С, = Прежде чем перейти к доказательству, заметим, что, как было указано выше, движение фазовых точек можно уподобить движению частиц, взвешенных в жидкости, или (при непрерывном их распределении) движению краски (нри отсутствии диффузии), распределенной в жидкости. Поэтому и движение, рассматриваемое в теореме Лиувилля с этой точки зрения, можно представить происходящим в несжимаемой жидкости. Это справедливо потому, что при движении величина С, (будем считать, что этот объем ва-кращен краской) не меняется. [c.171] Покажем теперь, что в многомерном пространстве условие (2.9), так же как (2.6) в трехмерном, выражает несжимаемость , и тем самым докажем теорему Лиувилля. [c.172] Сейчас мы покажем, что согласно (1.1), т. е. в силу уравнений Гамильтона. D(l) = 1. А тогда, очевидно, Gt = Go, и теорема Лиувилля будет доказана. [c.173] Определитель D t) = Det (а.й) есть определитель 2п-порядка, где i,, = г, f = l,. ..,2 . [c.173] Первое из двух соотношений показывает, что вто линейное преобразование — ортогональное (и при этом в силу второго соот-ношения такое, при котором семейства прямых Утх° + 1/Му = = onst преобразуются в самих себя, а следовательно, оно является преобразованием отражения от прямой, перпендикулярной к линиям этого же семейства). [c.174] Вернуться к основной статье