ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенное уравнение задачи из "Статика упругих тонкостенных стержней " Невозможность определения р из уравнений статики заставляет обратиться к условиям совместности деформаций в той или иной редакции. Мы полагаем, что единственно правильный путь раскрытия неопределенности состоит в обращении к вариационным принципам теории упругости. Подобный путь был использован в более общей згдаче о комической оболочке Л. И. Р алабухом [2 в 1947 г. [c.115] В отличие от 8 гл. II, здесь записана потенциальная энергия деформации стержня, а не полная потенциальная энергия его, о которой там шла речь дело в том, что мы намерены в дальнейшем воспользоваться теоремой Кастильяно, допускающей такие вариации напряженного состояния, которые не нарушают выполнения уравнений статики. Именно поэтому в предыдущем параграфе мы позаботились об удовлетворении всех уравнений статики. [c.115] Поэтому, варьируя функцию р, мы получаем такие вариации напряженного состояния, которые всегда статически удовлетворительны и следовательно допустимы при пользовании теоремой Кастильяно. [c.115] О)гласно теореме Кастильяно, действительно осуществляющееся напряженное состояние отличается от множества всех статически допустимых состояний тем, что для него потенциальная энергия системы принимает минимальное значение. Поэтому функция р (г) должна быть такой, чтобы потенциальная энергия П (р) была минимальна. [c.116] Последняя формула естественно совпадает с ранее данной формулой жесткости при свободном кручении. [c.116] Приведенных граничных условий достаточно для нахождения постоянных и Ац, входящих в решение (32). [c.117] Выражение (43) по своей структуре совпадает с формулой (22) предыдущей главы и определяет В как момент элементарных усилий при плече со. [c.118] Вид формул (40) и (41) показывает, что для вычисления напряжений и по этим формулам удобнее располагать дифференциальным уравнением для функции Вф, а нв р. [c.118] При развитии своей теории А. А. Уманский основывался не на вариационных принципах, а на некоторых дополнительных соображениях, которые позволили ему составить дифференциальное уравнение задачи. [c.119] При использовании этого предположения дальнейший план развития теории в основных чертах состоит в следующем. [c.119] Это уравнение с точностью до коэффициента при старшей производной совпадает с полученным выше уравнением (29). [c.120] Основным недостатком такой схемы построения теории является дополнительное утверждение о совпадении функции р(г) с углом закручивания на единицу длины. [c.120] Вскоре после опубликования этой теории А. А. Уманский отметил значительность возможной ошибки для таких стержней, сечения которых мало искажаются (из плоскости) в условиях свободного кручения. В табл. 8 приведены результаты деления нормальных напряжений в угловых точках заделки тонкостенного консольного стержня прямоугольного сечения, даваемых только что изложенной теорией А. А. Уманского, на напряжения, определяемые по теории, развитой в 2 настоящей главы. [c.121] Аналогичное отношение для поправок к величине в выражении приведено в табл. 9. [c.121] Значительно лучшие результаты дает второй вариант теории, предложенный А. А. Уманским в 1940 г. [ ]. [c.122] Так как для вывода соотношения (60) использованы не только все уравнения равновесия, но и дополнительное деформационное условие замкнутости контура, то теперь необходимо сформулировать еще одно дополнительное условие, так как для нахождения двух функций и р имеется всего одно уравнение. [c.122] Штрих при должен напомнить о различии от [см. формулу (24)]. [c.123] Последнее уравнение вместе с граничными условиями йозволяет найти р(г), а следовательно вычислить и напряжения. [c.124] При необходимости определения угла закручивания следует обратиться к выражению (66). [c.124] Далее надлежит заметить, что помимо исходного перемещения W было введено еще перемещение 1, найденное по касательному напрягйению Структура решения позволила удовлетворить условию замкнутости при пользовании обеими зависимостями. [c.124] Вернуться к основной статье