ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Суперпозиция колебаний со случайными фазами из "Колебания и волны Введение в акустику, радиофизику и оптику Изд.2 " один и тот же свет при толковании одних опытов можно рассматривать как синусоидальную волну, но при толковании других опытов этого делать нельзя. [c.408] Последнее утверждение нуждается в разъяснении. [c.408] Случайными процессами являются, например, радиоактивный распад, броуновское движение. [c.409] Было бы грубой ошибкой думать, что случайные процессы не подчиняются никаким законам. Для этих процессов существуют, как мы увидим вполне объективные статистические законы, которые нисколько не уступают по своей определенности и четкости динамическим законам. Установление статистических законов является не менее ценным видом познания и не менее мощным средством управления явлениями природы, чем установление динамических законов. [c.409] Условия той лотереи (или правила той азартной игры), которая может служить моделью данного случайного процесса, мы будем называть статистической схемой этого процесса. Существует отрасль математики — теория вероятностей, — которая позволяет выводить из статистической схемы определенные высказывания о характере случайного процесса (подобно тому как теория дифференциальных уравнений позволяет делать на основании динамической схемы высказывания о ходе динамического процесса). [c.409] Мы знаем, что различным динамическим процессам (например, автоколебаниям и затухающим колебаниям) соответствуют различные динамические схемы и что часто одна и та же динамическая схема соответствует весьма разнообразным динамическим процессам (например, колебаниям часов и лампового генератора) именно на этом основан в значительной мере единый язык теории колебаний (гл. I, 2, гл. II, 7 и гл. VIII, 12). Аналогично обстоит дело со статистическими процессами. Существуют различные статистические схемы физических процессов, и, например, чтобы построить правильную картину естественной модуляции света, нужно положить в основу вполне определенный тип статистической схемы. Вместе с тем часто одна и та же статистическая схема позволяет объяснить множество, казалось бы, весьма далеких статистических явлений, например естественную модуляцию света и броуновское движение ). [c.409] Мы привели наглядный (хотя несколько искусственный) пример интересующего нас здесь явления. С другими (уже не искусственными, но зато более сложными) примерами встретимся в дальнейшем. [c.410] Представим себе, что N монет, перенумерованных от 1 до М, одновременно подбрасываются вверх и затем падают на стол. Одни монеты ложатся так, что сверху оказывается герб, другие — так, что сверху оказывается обозначение достоинства монеты ( решетка ). Пусть фаза 1-го колебания (1=1, 2, М) принимает значение О, если г-я монета дала герб , и значение тг, если -я монета дала решетку . [c.410] Через некоторое время охватывающее очень большое число периодов Т наших колебаний (1 = 21г/со), снова происходит подбрасывание N монет. Пусть снова фаза каждого колебания принимает значение О или тс в соответствии с тем же правилом. Такое испытание повторяется очень большое число раз через равные промежутки времени х. [c.410] В применении к примеру с антеннами (п. 1) эта статистическая схема означает следующее ручка каждого фазовращателя может принимать только два положения, которым соответствуют два значения фаэы соответствующей слагающей поли, а именно О и тс. [c.410] Амплитуда и фаза колебания 5 остаются постоянными в интервалах между испытаниями, но изменяются, вообще говоря, в результате каждого испытания, т. е. через промежутки времени х. [c.411] Мы дали качественное описание изучаемого случайного процесса. Поставим теперь такой количественный вопрос, как часто будут попадаться в осциллограмме функции 8 I) куски синусоиды с тем или иным значением ( ) На этот вопрос можно дать приближенный, но достаточно определенный ответ для случая, когда мы наблюдаем колебание на протяжении промежутка времени, охватывающего очень большое число испытаний. Чем больше число испытаний, тем чаще и ближе результат опыта будет совпадать с результатом проводимого далее расчета. [c.412] Пусть N = 2. Результаты, изображаемые различными строками таблицы 1, будут попадаться среди большого числа испытаний приблизительно одинаковое число раз. Действительно, среди большого числа испытаний, как показывает опыт, каждая монета дает оба значения приблизительно одинаковое число раз. Кроме того, результаты бросания обеих монет совершенно независимы среди тех испытаний, в которых первая монета дает герб (строки 1, 2), будет примерно половина таких, где вторая монета дает также герб (строка 1), и половина таких, где вторая монета дает решку (строка 2). То же будет среди приблизительно такого же числа испытаний, в которых первая монета дает решетку (строки 3, 4), Но это вовсе не значит, что различные возможные значения результирующей амплитуды будут встречаться среди большого числа испытаний приблизительно одинаковое число раз. Значение А —2а получится только при одном определенном результате испытания (строка 1), значение А 0 —при двух различных результатах испытания (строки 2, 3), значение А = —2а — только при одном определенном результате испытания (строка 4). [c.412] Пусть М — А. Разбор, аналогичный приведенному для N=2, показывает, что среди большого числа испытаний будут попадаться приблизительно одинаковое число раз результаты, изображаемые различными строками таблицы 2. При этом значение амплитуды А = а получается только при одном определенном результате испытания (строка 1), значение А = 2а — при четырех различных результатах испытаний (строки 2, 3, 5, 9), значение Л = 0—при шес/гегг различных результатах (строки 4, 6, 7, 10, 11, 13) и т. д. Таким образом, А = 0 будет появляться приблизительно в шесть раз чаще (среди большого числа испытаний), чем А 4а. [c.412] На рис. 408 дано графическое изображение полученного результата для различных N. Значение амплитуды Ма при значительном/V появляется очень редко. Наиболее часто встречаюш ееся по сравнению с каждым из других значений значение амплитуды (при М, взятом всюду четным для простоты) есть = 0. [c.413] Но и это значение амплитуды при большом N встречается все же весьма редко. Другими словами, нулевое значение амплитуды встречается среди большого числа кусков синусоиды чаще, чем любое другое определенное ее значение, но вместе с тем (за исключением случая = 2) амплитуда равна нулю реже (а при большом N —гораздо реже), чем не равна нулю. [c.413] Рассмотрим теперь в общем виде вопрос о среднем значении Л за большое число испытаний, т. е. за время, большое по сравнению со временем модуляции х. Это среднее мы будем обозначать у1 . Такое обозначение является естественным обобщением обозначения усреднения за боль-япое число периодов модуляции, введенного в гл. IV, 9. [c.413] В нашем примере с вибраторами среднее значение интенсивности поля в точке наблюдения за время, охватывающее большое число случайных переключений фазовращателей, равно числу вибраторов, умноженному на интенсивность поля, создаваемого отдельным вибратором. [c.415] Пусть даны ТУ мешков для игры в лото, пронумерованных от 1 до ТУ каждый из них содержит очень большое число т последовательных номеров. Пусть испытание состоит теперь в том, что из всех мешков вынимаются наугад номера, и фазе -го колебания дается значение, равное числу 2% т, умноженному на номер, вытянутый из г-го мешка, после чего вытянутый номер кладется обратно в мешок. [c.415] Сделаем еще дальнейшее обобщение. Пусть фаза каждого из N колебаний может принимать любое значение в интервале от О до 2тг, причем все значения за большое число испытаний встречаются приблизительно одинаково часто ( равновероятны ). [c.416] Вернуться к основной статье