ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свойства соотношений между силами и перемещениями для элемента из "Метод конечных элементов Основы " Определим вид соотношений, связывающих узловые силы и узловые перемещения конечного элемента, т. е. так называемые соотношения между силами и перемеш/гниями. Соотношения между силами и перемещениями для элемента записываются в одном из трех основных видов (1) уравнения жесткости, (2) уравнения податливости, (3) смешанные соотношения между силами и перемещениями. [c.45] Матрица [к] — матрица жесткости элемента, а Р и Л — соответственно векторы сил и смещений для элемента. Заметим, что прямоугольная матрица обозначается символом [ ]. Отдельный элемент матрицы [ к] назовем коэффициентом жесткости элемента. Если перемещение А полагается равным единице, а перемещения, отвечающие остальным степеням свободы, полагаются равными нулю (А =0, kфi), значение силы Г равно кг,. [c.45] ТОВ матрицы жесткости ка представляет систему уравновешенных сил, действующих на элемент. Аналогичная интерпретация справедлива и для других столбцов матрицы жесткости элемента. [c.46] Соответствующее уравнение равновесия есть 2 ж=0, что приводит к равенству нулю суммы элементов в каждом столбце. [c.46] Во-вторых, следует отметить, что условия равновесия сил, отвечающих каждому столбцу матрицы жесткости, определяются не только приравниванием нулю суммы элементов в указанном столбце. Сумма коэффициентов жесткости, соответствующих силам р1, р2, действующим в направлении г, согласно условиям равновесия действительно равна нулю. Однако для оставшихся коэффициентов необходимо учесть уравнение равновесия для моментов. Для столбца 1, например, рассмотрев моменты относительно точки 2, получим 2 2=(61—ЗL—31)=0. [c.47] Кроме того, если сравнить эту матрицу жесткости с матрице растягиваемого стержневого элемента, то выясняется, что коэффи циенты последней матрицы суть константы, а среди компонен первой матрицы имеются как константы, так и величины, завися щие от длины, например 6, ЗL, 2L Отношение этих величин може быть достаточно большим, что существенно влияет на точность чис ленного решения системы линейных алгебраических уравнений образованной при помощи матрицы жесткости. Помимо аспектов касающихся точности численного процесса, очевидно, что можн( добиться больших удобств и значительной эффективности вычисли тельного процесса, если коэффициенты жесткости элемента не за висят от характерных размеров элемента, т. е. записаны в безраз мерном виде. [c.48] Наконец, полная система уравнений жесткости для элементг связывает все узловые силы элемента с его степенями свободы, Когда это требуется, в число степеней свободы включается и движение тела как твердого целого. Так, для балочного элемента исключенные перемещения, отвечающие любому из изображенных нг рис. 2.8(Ь) и (с) условию закрепления, суть совокупность переме щений, связанных с движением тела как твердого целого. Если выделить такого рода степени свободы и силы, то можно более кратко описать жесткостные свойства элемента. Однако это потребует, как показано в гл. 7, применения специальным образом определенной методики построения полной аналитической модели. [c.48] Соотношения податливости можно записать только для закрепленных неподвижно элементов, иначе при приложении сил будут возникать неопределенные (бесконечные) перемещения тела как твердого целого. Поэтому из уравнения (2.2) исключены степени свободы для некоторых узлов элементов. Очевидно, что соотношения податливости можно вывести для элементов, закрепленных статически неопределимым способом, однако за некоторым исключением эти соотношения трудно согласовать с аналогичными соотношениями для других элементов конечно-элементной модели сложной конструкции. [c.49] Коэффициенты матриц податливости различны. Тем не менее, как будет показано в следующем разделе, основная характеристика каждого типа закрепления — дополнительная энергия деформации — у обеих матриц одинакова. [c.49] Одной ИЗ форм смешанных соотношений между силами и перемещениями является форма, использующая передаточную матрицу. Силы и перемещения на одном конце элемента ( L Р/ J) переносятся на противоположный конец с помощью матрицы 1й]. [c.50] Вернуться к основной статье