ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями из "Точно решаемые модели в статической механике " Все обсуждение в разд. 1.7 применимо к любому четному гамильтониану Е о) с некоторыми неявно выраженными ограничениями, такими, как существование термодинамического предела (1.7.6) и ферромагнитной критической точки. [c.28] Очень многое уже известно об этой модели. Даже для таких случаев, когда нет точного решения, как, например, для тр х измерений или для двух измерений во внешнем поле, может быть получено разложение в ряд в высокотемпературной или в низкотемпературной области. [c.28] Нетрудно представить правдоподобные, хотя и нестрогие аргументы в пользу того, что намагниченность М ведет себя, как показано на рис. 1.1, и что должна существовать критическая точка при Я = О и некотором положительном значении Т = Т . [c.29] Если эти разложения сходятся при достаточно малых значениях и (т.е. при достаточно низких температурах), то опять-таки при достаточно малых и величина будет положительной. Ьспоминая, что М И, Т) — нечетная функция Я, мы заключаем, что при низких температурах график функции Л/(Я, Т) имеет вид, показанный на рис. 1,1,о, с разрывом непрерывности при Я = 0. [c.31] функция М Т) тождественно равна нулю для достаточно высоких температур Г, но строго положительна для достаточно малых Т. При некоторой промежуточной температуре она должна перейти от нулевого к ненулевым значениям, как это показано на рис. 1.3, и в этой точке должна быть неаналитической функцией Т. Таким образом, должна существовать некоторая критическая точка Я = О, Г = в которой термодинамические функции станойятся неаналитическими, чго иллюстрирует рис. 1.2. [c.31] Приведенное выше доказательство не исключает возможности существования других сингулярностей внутри полуплоскости (Я, Г), но простейшая совместимая с ним картина именно та, которая представлена на рис. [c.31] Некоторые части доказательства, или, точнее, их варианты, могут быть проведены совершенно строго. Например, еще в 1936 г. Пайерлс [192] показал, что для достаточно низких температур М Т) — положительная величина (см. также [106], с. 59). [c.31] Аналогичное доказательство в случае одномерной модели Изинга не может быть проведено. Это связано с тем, что следующий за ведущим член низкотемпературного /-разложения обусловлен состояниями типа показанного на рис. 1.6, где имеется целая цепочка, а не единичный перевернутый спин. Число таких состояний равно /lN N — 1) вместо Л/, так что даже до этого порядка 2 , не имеет вида (1.8.11). Конечно, это согласуется с тем фактом, что одномерная модель не может иметь фазового перехода при ненулевой температуре. [c.31] Вернуться к основной статье