ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точно решаемые модели из "Точно решаемые модели в статической механике " Имеется еще одно ограничение на применение принципа универсальности, которое не упоминалось в разд. 1.3. В большинстве физических систем межмолекулярные силы являются эффективно короткодействующими в инертных газах они убывают как г г — расстояние между молекулами) в кристаллах часто достаточно рассматривать только взаимодействие между ближайшими соседями. Корреляции неограниченного радиуса, возникающие в критической точке, обусловлены кооперативным поведением всей системы, а не дальнодействующими взаимодействиями. [c.19] С другой стороны, если достаточно дальнодействующие взаимодействия включены в Е(з), то они, очевидно, могут влиять на характер неограниченного роста радиуса корреляций вблизи и мы не должны удивляться, если критические показатели при этом изменятся. Таким образом, принцип универсальности применим только к системам с одинаковым радиусом взаимодействия. Чтобы получить правильное критическое поведение, не следует вводить в модель реальной системы нефизические дальнодействующие взаимодействия. [c.19] К сожалению, еще не получено решение ни для одной по-настоящему трехмерной модели с короткодействующими силами. Простейшей моделью такого рода является трехмерная модель Изинга (которая кратко описана ниже) эта модель интенсивно исследовалась методом разложения в ряд [98], но точного решения не получено. [c.19] Одномерные модели могут быть решены для взаимодействий конечного радиуса, экспоненциально затухающих или кулоновских. Такие модели с короткодействующими парными взаимодействиями (включая экспоненциально затухающие) имеют серьезный недостаток с точки зрения использования их для ориентации в мире критических явлений они не имеют фазового перехода при ненулевых температурах [160, 240]. Кулоновские системы также не имеют фазового перехода [14—16, 156], хотя одномерный электронный газ имеет дальний порядок при всех температурах [154]. [c.19] Одномерная система может иметь фазовый переход, если во взаимодействии участвует неограниченное число частиц, как это имеет место в модели взаимодействующих кластеров [89, 91]. Она также может иметь фазовый переход, если радиус взаимодействия становится бесконечным, но тогда система принадлежит уже, по существу, к следующему классу бесконечномерных моделей. [c.20] Чтобы уяснить себе смысл понятия бесконечномерная система , необходимо дать рабочее определение эффективной размерности гамильтониана. Для систем с взаимодействием малого или ограниченного радиуса никакой трудности при этом не возникает искомая размерность равна размерности рассматриваемого пространства. [c.20] Для других систем полезным приемом оценки размерности может служить подсчет числа узлов, в которых может побывать за п шагов частица, совершающая случайное блуждание по решетке (начальная точка блуждания выбирается произвольно). Для /-мерной регулярной решетки и для больших значений п это число пропорционально объему ящика с ребром, равным /1, т.е. п . Чем больше размерность, тем теснее располагаются соседние узлы. [c.20] Если число соседей бесконечно велико, система становится эффективно бесконечномерной. Примером может служить система, описываемая моделью среднего поля, которая обсуждается в гл. 3. В гл. 4 рассматривается модель Изинга на решетке Бете. Эта решетка обладает тем свойством, что число узлов, посещаемых за п шагов, растет экспоненциально с ростом п. Это более быстрый рост, чем независимо от значения поэтому такая модель также бесконечномерна. [c.20] Результаты для этих двух моделей совпадают с результатами, полученными для регулярных решеток с помощью приближения среднего поля и аппроксимации Бете соответственно (разд. 1.5). Таким образом, оба эти приближения эквивалентны замене исходного гамильтониана гамильтонианом бесконечномерной модели. [c.20] В первоначальной формулировке [51, 169] эта модель вводит ограничение, связывая в равной степени все компоненты системы независимо от того, как далеко они расположены друг от друга. Таким образом, она нефизическая в том смысле, что включает взаимодействия неограниченного радиуса действия. Тем не менее Стенли [211] показал, что ее можно рассматривать как предельный случай системы с взаимодействием только между ближайшими соседями. Эта модель обсуждается в гл. 5. Интересно то, что ее критические показатели в трехмерном случае неклассические. [c.21] Имеется очень небольшое число двумерных моделей, которые были решены (т.е. вычислена их свободная энергия) в частности, это модели Изинга, сегнетоэлектрическая, восьмивершинная и трехспиновая. Все они физические в том смысле, что включают взаимодействия только ограниченного радиуса, и все имеют критическую точку. Основное внимание в этой книге будет уделено именно этим моделям. [c.21] Конечно, можно лишь пожалеть, что они только двумерные, но все же они дают качественное представление о реальных системах. В самом деле, имеются реальные кристаллы с сильными горизонтальными и слабыми вертикальными взаимодействиями. Примерами являются K2NiF4 и КЬ2Мпр4 [4, 55]. Двумерные модели могут быть весьма полезными для описания таких кристаллов. [c.21] Более неприятно, по-видимому, то, что для большинства двумерных моделей решение было получено только в отсутствие внешнего поля (Н — 0), так что имеется лишь ограниченная информация относительно их критического поведения и функция скейлинга И х) для них не вычислена. Единственное исключение представляет собой сегнетоэлектрическая модель в присутствии электрического поля, но она обнаруживает необычное, нетипичное поведение (разд. 7.10). [c.21] Вернуться к основной статье