ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод решения краевых задач для линейных систем из "Строительная механика Специальный курс Применение метода граничных элементов " Диагональные блоки матрицы А представляют собой одинаковые или разные квадратные матрицы ортонормированных фундаментальных функций, описывающих состояния стержней. Вектор нагрузки В строится аналогично векторам У, X и включает внешнюю нагрузку всех стержней по выражению (1.25). [c.23] Такая схема формирования матричного интегрального уравнения требует дискретизации стержневой системы в узлах. Связано это с тем, что узлы являются точками разрыва кинематических и статических параметров стержней, а уравнение (1.32) справедливо в точках непрерывности параметров напряженно-деформированного состояния. Однако, при необходимости, узлами стержневой системы могут быть и точки, где сохраняется непрерывность параметров. Порядок чередования параметров стержней в матрицах (1.37) произвольный, т.е. в цепочке могут располагаться параметры стержней, находящихся в разных местах конструкции. Поэтому любую стержневую систему можно описать интегральным уравнением типа (1.32), выступающим уже в роли математической модели деформирования линейной системы. Порядок такого уравнения определяется числом стержней, на которые разбивается система, и порядком дифференциальных уравнений, притатых для описания состояния стержней. [c.23] У ( ) =А ( )X (о) +В ( ) А ( )X (о) -У ( ) = - В ( ) А ( )X (о, ) = - В ( ), (1.38) где векторы У, X содержат параметры стержней в граничных точках х = I и х = О. Вектор В состоит из грузовых элементов всех стержней при х = I. Матрица А содержит граничные значения ортонормированных фундаментальных функций при х = I и имеет квазидиагональную структуру. [c.23] Таким образом, решение прямых задач механики линейных систем с помощью одномерных граничных интегральных уравнений сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных начальных и конечных параметров стержней. [c.24] Процесс переноса конечных параметров вектора V на вектор X основан на следующем. Векторы X, V любой линейной системы при граничном значении переменной х = I будут содержать 3 группы граничных параметров. Первая группа - это нулевые граничные параметры, что определяется заданными условиями опирания (краевыми условиями). Вторая группа - это зависимые параметры, связь между которыми выражается уравнениями равновесия и совместности перемещений узлов линейной системы. Третья группа граничных параметров векторов X, V никак не связаны между собой. Эти параметры условно могут быть названы независимыми. Перенос параметров из V в X должен компенсироваться соответствующими ненулевыми элементами матрицы А, иначе нарушится исходное уравнение (1.32) при х = I. Очевидно, что независимые параметры V должны быть перенесены на место нулевых параметров вектора X, а зависимые параметры переносятся в соответствии с уравнениями их связи. Перед операцией переноса параметров необходимо освободить поля матрицы А от элементов, связанных с нулевыми параметрами вектора X. Выполняется это путем обнуления столбцов матрицы А, номера которых равны номерам строк нулевых параметров вектора X. Далее в матрицу А вводятся ненулевые компенсирующие элементы и преобразования по схеме (1.38) завершены. Правило для определения величины и положения компенсирующих элементов при переносе параметров включает 3 случая. [c.24] Определив все компенсирующие элементы матрицы А, можно свести граничное интегральные уравнение (1.38) к системе линейных алгебраических уравнений, решением которой определяются неизвестные начальные и конечные параметры всех стержней. Напряженно-деформированное состояние во внутренней точке стержня определяется вычислением по матричному уравнению (1.32). [c.26] Для реализации МГЭ на ЭВМ необходимо сформировать линейную систему алгебраических уравнений (1.38). Данная система имеет свои ярко выраженные особенности, которые существенно отличаются от параметров подобных систем методов сил, перемещений, МКЭ и других методов. В рассматриваемом варианте МГЭ матрица коэффициентов А будет являться весьма разреженной матрицей общего вида. Решение подобной системы уравнений может быть осуществлено с помощью метода исключения Гаусса. Одной из особенностей матрицы А является наличие нулевых ведущих элементов. Поэтому перед применением метода Гаусса необходимо переставить строки матриц А, В в новом порядке, исключающем нулевые ведущие элементы. Поскольку матрица А сильно разрежена, то в новом порядке строк нельзя переставлять отдельные строки, т.е. МГЭ накладывает ограничения на алгоритм метода Гаусса с выбором ведущих элементов. Отметим, что сильная разреженность матрицы А является положительным фактором, который существенно улучшает устойчивость численных операций и обеспечивает точность результатов [30, 74, 97]. В данном учебном пособии для решения систем уравнений (1.38) применяется простой алгоритм метода Гаусса. Для уменьшения арифметических ошибок при округлении в процессе решения уравнений желательно приметать ЭВМ с большой разрядной сеткой и двойную точность. [c.26] Матрица С характеризует топологию линейной системы и является инвариантной по отношению к видам расчета. Она составляется для определенного ориентированного графа только один раз и далее может использоваться при формировании матрицы А в задачах статики, динамики и устойчивости. [c.27] Матрица нагрузки В в уравнении МГЭ (1.38) содержит элементы с вложенными силовыми пространствами на основе теории обобщенных функций и сплайнов. Нагрузка на каждый стержень задается, а функция Грина всегда может быть определена. В матрице В после интегрирования остаются члены с обобщенными функциями и сплайнами. Единичная функция Хевисайда и сплайны легко программируются на любом алгоритмическом языке, а дельтафункция Дирака и ее производные должны представляться нулями. Вектор нагрузки В в алгоритме МГЭ не требует сведения нагрузки к эквивалентной узловой, как это делается в МКЭ, так что исключаются промежуточные операции. Координаты нагрузки в векторе В можно сделать переменными величинами. В этом случае расчет линейных систем можно проводить на статическую подвижную нагрузку или с помощью ЭВМ строить линии влияния. [c.27] При положительном ответе на эти вопросы можно утверждать, что нет препятствий для выполнения преобразований (1.38).Ответы на эти вопросы можно сформулировать в виде двух теорем. [c.27] Теорема 1. Для любой линейной системы с заданными краевыми условиями число нулевых начальных параметров матрицы X всегда равно (для систем с линейно неподвижными узлами) или больше (для систем с линейно подвижными узлами) числа независимых конечных параметров матрицы V. [c.27] Теорема 2. Для любой линейной системы с заданными краевыми условиями получается матрица А с ненулевыми строками и столбцами, т.е. всегда существует вариант перестановки строк матрицы А, исключающий нулевые ведущие элементы. [c.28] Доказательства этих теорем осуществляется методом математической индукции [65]. Таким образом, схема преобразований матриц (1.38) всегда может быть выполнена, что подтверждается и многочисленными частными примерами расчета упругих стержневых, пластинчатых и оболочечных систем, приведенными в данном учебнике. [c.28] Вернуться к основной статье