ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы тензорного исчисления из "Пластинки оболочки из стеклопластиков " Сведения, приведенные в данном тгараграфе, помогут читателю в понимании основного материала гл. И и HI книги. Для удобства в табл. 2.1 дается перевод обычных обозначений для некоторых основных величин и соотношений теории упругости в тензорные. [c.14] В механике и физике постоянно приходится иметь дело с объектами, которые считаются определенными при задании характеризующей их числовой, или скалярной, величины и направления. Подобного рода объекты называются векторами. Векторы могут быть изображены при помощи направленных отрезков, при этом числовая, или скалярная, величина вектора изображается длиной этого отрезка. Хорошо известными простейшими примерами векторов являютСя скорость, ускорение, сила и др. [c.14] В дальнейшем будем обозначать векторы буквами с черточками сверху, а их числовые или скалярные значения — соответствующими буквами без черточек. [c.14] Проекции вектора на оси системы координат назовем компонентами вектора по отношению к этой координатной системе. [c.14] Заметим, что последние два инварианта называются совместными инвариантами векторов Д и В. [c.16] Теперь воспользуемся формулами (2.8), чтобы определить само понятие вектор, а именно, скажем, что совокупность двух величин и Лг является вектором, если эти величины при преобразованиях координат преобразуются по формулам (2.8). [c.16] Рассмотрим, как преобразуются эти величины при вращении системы координат. [c.16] Величины Tiu носят название компонент (или составляющих) тензора. [c.17] коэффициенты уравнения кривой второго порядка образуют тензор второй валентности, поскольку при преобразованиях системы координат эти коэффициенты преобразуются так, как должны преобразовываться компоненты этого тензора. [c.17] Компоненты вектора Ах и Ау зависят не только от скалярной величины вектора А, но и от положения декартовой системы координат, которая выбрана совершенно произвольно. [c.18] В другой системе координат х, у ) компоненты рассматриваемого нами вектора А будут иметь уже другие значения. Ах , Ау-. [c.18] Подобного рода величины, остающиеся неизменными во всех системах координат, называются инвариантами. [c.18] Понятие инварианта наряду с понятиями числа, множества, функции, преобразования и т. п.— одно из основных понятий современной математики. Вместе с тем понятие инварианта имеет исключительно важное значение в современной механике и физике. [c.18] В самом общем смысле термин инвариант обозначает не-изменяющееся, т. е. все то, что, будучи определенным образом связано с некоторыми математическими или физическими объектами, остается неизменным при любых преобразованиях координат. [c.18] В дальнейшем будем пользоваться системами координат, оси которых пронумерованы (см. табл. 2.1). В этих системах координат компоненты вектора и координаты точки обозначаются через Al, А2И Xi, Х2 соответственно. [c.19] Сравнивая формулы (2.11) и (2.12) и учитывая, что а1к = ом, видим, что величины aih действительно преобразуются как компоненты или составляющие тензора второй валентности. [c.20] Компоненты тензор а, так же как и компоненты вектора, зависят от принятой системы координат, т. е. величины относительные. [c.20] Рассмотрим, например, в различных системах координат значения компонент тензора напряжений, характеризующих напряженное состояние пластинки, подвергнутой чистому одноосному растяжению (рис. 2.2). [c.20] Вернуться к основной статье