ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка задачи для параболического уравнения из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Найдем собственные частоты сот ) устойчивых по первому приближению резонаторов с помощью лучевого метода в малом. Существование аналогии между геометрической оптикой и классической механикой материальной точки наводит на мысль использовать хорошо развитый аппарат аналитической динамики. [c.278] Попытки применить к рассматриваемой задаче метод Келлера— Рубинау сталкиваются с той трудностью, что здесь не удается найти множества замыкающихся конгруэнций лучей, непрерывно зависящего от должного числа параметров (см. гл. 3). [c.278] С этими трудностями мы не сталкиваемся при использовании лучевого метода в малом, в основе которого лежат не экстремали функционала геометрической оптики I (2.8), а лучи первого приближения — экстремали функционала /о (2.15), или (что то же) решения линейной канонической системы (2.16). [c.278] Для описания распространения этих лучей в резонаторе воспользуемся специальными кординатами а = 1, 2, известными в аналитической динамике под названием нормальных координат ). Перейдем к их построению. [c.278] Таким образом, в нормальных координатах луч в резонаторе описывается простыми функциями (4.5), непрерывными на оси резонатора /дг. Простота формул (4.5) объясняется тем, что всю сложность геометрии задачи (связанную, в частности, с отражением лучей от зеркал 8и) взяли на себя нормальные координаты. [c.279] Значениям параметра s, О s дг, однозначно сопоставим точки некоторой третьей окружности. Пользуясь опять топологической терминологией, можно сказать, что многообразие гомеоморфно прямому произведению трех окружностей. Такое многообразие называется трехмерным тором. В качестве базисных контуров возьмем окружности (4.9) и замкнутый контур, на котором параметр s меняется в пределах от О до Sn, а точки (Е/, Ч/). /= 1. 2, лежащие на окружностях (4.9), фиксированы. Напомним, что любой замкнутый контур на трехмерном топологическом торе Тг можно получить непрерывной деформацией некоторой линейной комбинации с целыми коэффициентами этих базисных контуров. [c.280] Эйконал, соответствующий замыкающейся конгруэнции лучей (4.6), как функция точки на Т находится интегрированием дифференциальной формы (4. 2) и полного дифференциала dQ (см. формулу (4.3)). [c.281] Из равенств (3.4) и (3.5) следует, что а (s) не обращается в нуль (см. корец 2 гл. 8), поэтому arg а (s) является непрерывной функцией S на оси резонатора. Сложнее обстоит дело с функцией b s). Она может, вообще говоря, обращаться в нуль, при этом argo(s) терпит разрыв в нулях функции b s). Формула (4.18), очевидно, имеет смысл и в этих случаях. В дальнейших построениях мы будем считать, что b s) не обращается в нуль на оси резонатора, т. е. при О s Sjv. [c.283] Перейдем к выводу формул для собственных частот резонатора. [c.283] Равенство (4.25) следует из того, что каждую окружность 1а каустика (4.20) пересекает ровно в двух точках, отстоящих друг от друга на п. [c.285] Напомним, что формулы (4.29), (4.30) получены на основе линеаризованной гамильтоновой системы уравнений (2.16). Используя решения системы (2.16) в качестве первого приближения, можно по стандартной схеме теории возмущения последовательно учитывать следующие члены в разложении (2.11) функции Гамильтона, если фд и 2п линейно независимы над кольцом целых чисел (ср. результаты 8 гл. 8). Эта процедура осуществляется путем построения формальных рядов, так называемых рядов Биркгофа ). [c.286] На основании задачи (1.2), (1.3), считая со— -с , сформулируем задачу для параболического уравнения, точное решение которой будет получено ниже. [c.286] Будем предполагать, что координаты Хи лга и функция и вместе со всеми своими частными производными по , Xi порядка единицы при (О — СХ). [c.287] И F(s)—вещественная симметричная матрица, определенная равенством (2.14). [c.287] Будем рассматривать для определенности только краевое условие 1 = 0. Чтобы удовлетворить этому условию, построим волны, отраженные от зеркал. Все построения будем вести в первом приближении. [c.287] Этому условию можно удовлетворить следующим образом пусть нам удалось построить функцию V, удовлетворяющую уравнению (5.7) и условиям (5.8) и (5.9), которая после прохождения резонатора получает множитель, равный по модулю единице, т. е. [c.289] Такая функция является аналогом решения Флоке для уравнения (5.7) с частными производными. [c.289] Поскольку (О —большое число, в формуле (5.11) /По 1. [c.289] Мы решим задачу (5.7) — (5.10) в некотором смысле в явном виде, точнее, выразим как функцию V, так и показатель Флоке и через решение Флоке и соответствующие показатели Флоке фц гамильтоновой системы, рассмотренной в 2 и 3. [c.289] Вернуться к основной статье