ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение решений уравнения Гельмгольца в пограничном слое из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Построим решения уравнения (1.1), сосредоточенные в окрестности кривой S (причем S не обязательно замкнутая) и удовлетворяющие на S условию (1.2) или (1.3). [c.162] Коэффициенты = 0, I, 2,. ..) из (3.2) и радиус кривизны р = р(5) кривой 5 будем считать достаточно гладкими функциями длины дуги 5. [c.163] Последнее уравнение означает, что = 0 либо - = 0. [c.165] Таким образом, мы продвинулись еще на один шаг в определении искомых коэффициентов разложения (3.4). [c.168] Для того чтоб ы сделать следующий шаг, т. е. найти полиномы P2(s, v) и 2(5, v), а также определить aio(s), нужно обратиться к следующей паре уравнений (3.7), соответствующей т = 2. Решив эту пару уравнений, мы построим полиномы P2(s, v) и 2(5, v), за исключением их свободных членов P2o(s) и 20(5). а также найдем функцию aio(s), которая будет выражаться через P2o(s)- Функция P2o(s) остается произвольной и впоследствии будет найдена из граничных условий. [c.168] Докажем, что степени полиномов ar(s, v) и Pr(s, v) при четном г равны г/2 и г/2 - - I соответственно, а при нечетном г равны (r-j-3)/2 и (г—1)/2. Доказательство проведем по методу математической индукции. [c.169] Предположим, что степени полиномов aj(s, v) и Pj(s, v) при I равны соответственно //2 и //2-(-,I, если / четное, и равны (/-+-3)/2 и (/— 1)/2, если j нечетное. Для / = О, 1 это предположение выполнено согласно формулам (3.25) и (3.22). [c.169] Из уравнения (3.34) следует, что Pr(s,v) является полиномом степени г/2 4-1 при четном г и полиномом степени (г—1)/2 при нечетном г. Таким образом, сделанное утверждение относительно степени полинома Рг( , v) доказано. После того как степень полинома Pr(s, v) установлена, степень полинома r(s, v) легко находится из уравнения (3.33) и оказывается равной г/2 при четном г и (r-j-3)/2 —при нечетном г. Именно этот результат мы и должны были доказать. [c.169] Коэффициенты полинома Pr(s, v) определяются следующим образом. Подставим в уравнение (3.34) полином Pr(s,v), расположенный по степеням v с неопределенными коэффициентами, зависящими от s. Приравняем затем друг другу коэффициенты при различных степенях v 1 в левой и правой частях уравнения (3.34). Это приведет нас к системе алгебраических уравнений, из которой находятся все коэффициенты полинома Pr(s,v), за исключением его свободного члена Pro(s). который определится позднее из граничных условий. [c.169] Наконец, приравняем в (3.34) свободные члены. Интегрируя полученное равенство по s, находим функцию r-i, o(s). [c.169] Полином РгС . V) является полиномом второй степени Р2 ( . V) = Р22 ( ) + Р21 ( ) V + Р20 ( ). [c.170] Здесь 2—произвольная постоянная, функция Рзо( ), так же как и Роо, Рю, Р20, остается неопределенной и в дальнейшем определяется из граничных условий. [c.171] Положим теперь v = 0 A, где е, О и Л onst оо. Найдем те значения в], при которых оценка (3.43) по-прежнему имеет место. Для этого надо оценить, согласно (3.44), Фм, Фм, экспоненту и функцию Эйри. [c.172] Вернуться к основной статье