ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные значения и собственные функции круга из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Пусть область Q представляет собой круг радиуса а и скорость с равна единице. Задачу о собственных функциях круга мы рассмотрим в случае краевого условия (1.2). Случай краевого условия (1.3) рассматривается совершенно аналогично, и о нем будет сказано совсем коротко. [c.79] Выберем базисные контуры Fi и F2. [c.79] Трансцендентное уравнение (4.3) (или (4.4)) допускает простые приближенные решения в двух предельных случаях 1, 7 = 0, 1,. .. и q , уО = О, 1,. .. Рассмотрим эти предельные случаи для уравнения (4.3). [c.80] Отсюда следует, что радиус каустики ао, соответствующий собственным значениям удовлетворяет неравенству ао С а, и замыкающаяся конгруэнция лучей покрывает почти весь круг г а ). [c.80] Перейдем к построению собственных функций в случае краевого условия (1.2). [c.81] Краевое условие (1.2) дает Лг = Л,е . Положим Л, =. [c.82] Формула (4.9) дает представления для собственных функций в покрытом лучами кольце Оо г а, т. е. при kp r q. Чтобы получить выражения для собственных функций за каустикой в круге г Оо и в окрестности каустики г = ао, следует воспользоваться результатами главы 2. [c.83] В случае краевого условия (1.3) выражения для собственных функций получаются тем же способом. Для них тоже имеют место асимптотические формулы (4.7) —(4.9), где, однако, собственные числа kpg следует находить не из трансцендентного уравнения (4.3), как в случае краевого условия (1.2), а из уравнения (4.4). [c.83] В этих уравнениях — ip и — ip — корни функции Эйри v(t) и ее производной (см. Дополнение 1). [c.84] Вернуться к основной статье