ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Асимптотические лучи в симплектической геометрии из "Особенности каустик и волновых фронтов " Эти нормальные формы доставляются теорией инвариантов бинарных форм. Совершенно неожиданная связь теории бинарных форм и вариационного исчисления была открыта в большой серии работ ([23]-[25], [72], [11], [12], [4], [5], [8], [143], [144]) в результате попыток понять глубокие причины совпадений бифуркационных диаграмм в различных теориях, удивительных сокращений многих членов в длинных формулах и странной универсальности раскрытого ласточкина хвоста. [c.197] С другой стороны, график функции времени в плоской задаче об обходе препятствия локально диффеоморфен многообразию нерегулярных орбит группы симметрий икосаэдра (группы Яз в классификации Кокстера групп отражений). В пространственной (трёхмерной) задаче об обходе препятствия эта поверхность появляется как особенность фронта (в точке касания асимптотического луча поверхности препятствия). [c.197] Дискриминант,группы симметрий гиперикосаздра Н4 появляется как особенность графика функции расстояния в точке асимптотического луча, срывающегося в параболической точке поверхности препятствия. Мы начнём наш анализ задачи об обходе препятствия с обсуждения геометрии асимптотических касательных к поверхностям. [c.197] Типичная плоская кривая не имеет касательных, порядок касания которых превышает 2. Типичная поверхность в евклидовом 3-пространстве не имеет касательных прямых, порядок касания которых превышает 4. Касательные прямые, порядок касания которых превышает 1 (асимптотические прямые), существуют в целой области гиперболичнрсти. Касательные прямые выше второго порядка существуют на кривой, четвёртого порядка— в изолированных точках зтой кривой (см. рис. 77). [c.197] Иерархия асимптотических касательных прямых становится более ясной, если её сформулировать на языке симплектической (или контактной) геометрии. Эта переформулировка распространяет теорию асимптотических касательных на широкий класс новых ситуаций например, на случай подмногообргизий римановых пространств или на общие вариационные задачи с односторонними ограничениями. [c.198] Рассмотрим гиперповерхность дМ в М — римановом многообразии с краем. Точки фазового пространства Т М будем называть векторами. Риманова метрика определяет гиперповерхность векторов длины 1 в фазовом пространстве. Поверхность дМ определяет в фазовом пространстве гиперповерхность векторов, приложенных в точках дМ. [c.198] Большая часть внешней геометрии дМ в М может быть описана в терминах симплектической геометрий пар гиперповерхностей симплектического многообразия (это было замечено Р.Мельрозом [18] для бильярда Биркгофа, когда М есть область, ограниченная дМ). Ни структура кокасательного расслоения объемлющего симплектического фазового пространства, ни происхождение гиперповерхностей не играют никакой роли мы можем рассмотреть любую пару гиперповерхностей в любом симплектическом многообразии. Таким образом, мы можем использовать геометрическую интуицию, основанную на опыте работы с поверхностями в обычном евклидовом пространстве, в общих вариационных задачах с односторонними ограничениями. [c.198] Рассмотрим две типичные гладкие гиперповерхности в симплектическом многообразии. Одну из них будем называть поверхностью ортов , другую — поверхностью краевых векторов . Предположим, что они трансверсально пересекаются вдоль подмногообразия единичных краевых векторов (коразмерности 2 в исходном симплектическом многообразии). Любая гиперповерхность в симплектическом многообразии локально расслаивается на характеристики (интегральные кривые поля косоортогональных дополнений касательных гиперплоскостей). Характеристики поверхности ортов будем называть лучами (если зта поверхность трансверсально ориентирована, то лучи имеют естественную ориентацию). [c.198] Пример. А = 1 соответствует особенности типа складка парабола а Н- Ах = О проектируется на Ах-ось. [c.199] Определение. Краевой орт называется касательным , если он является особой точкой канонической проекции. Он называется асимптотическим , если соответствующая особенность проекции вырождена более, чем складка ( 1). Для А = 2 он называется биасимпто-тическим, и т. д. (рис. 96). [c.199] Пример. Для поверхности Р х) = О в евклидовом 3-пространстве и для поверхности ортов (ж, )) р = 1 зти определения совпадают с обычными определениями дифференциальной геометрии. [c.199] Вместе с введённой выше канонической проекцией мы можем определить вторую каноническую проекцию с помощью той же конструкции, меняя местами гиперповерхности. [c.199] Возвращаясь к приведённому выше примеру, рассмотрим импульс р как вектор в евклидовом пространстве. Характеристика поверхности краевых векторов состоит иэ векторов, приложенных в точке х, концы которых принадлежат прямой, ортогональной касательной плоскости к краю в точке х (рис. 97). [c.199] Имея в виду этот пример, мы будем называть пространство характеристик гиперповерхности краевых векторов (ко)касательным расслоением края . [c.199] Пример. Для плоской выпуклой кривой первая инволюция отправляет орт, приложенный в точке кривой, в орт, имеющий то же направление, но приложенный в другой точке пересечения луча, определённого исходным ортом, и кривой (рис. 99). Вторая инволюция отражает этот орт относительно касательной к кривой в точке прикрепления. [c.202] Интересно отметить, что приведение к указанным выше нормальным формам возможно в С°° ситуации и на уровне формальных рядов, но невозможно в аналитическом и в голоморфном случае. Пары инволюций, встречающиеся на практике в аналитической или голоморфной ситуации, обычно имеют простую формальную или С°° классификацию и пространства функциональных модулей. В задаче классификации пар гиперповерхностей в симплектическом многообразии, насколько мне известно, пространства функциональных модулей до сих пор не изучены (зто относится также к локальной аналитической классификации соответствующих пар симплектических инволюций и их произведений). [c.202] Если особенности одной из канонических проекций сложнее, чем складка, то не существует простых нормальных форм для пары гиперповерхностей (см. [163]). Однако, для следующих двух особенностей, Аг и Лз (например, для обычных лучей, асимптотически и биасимптотически касающихся поверхностей в евклидовом пространстве), можно привести к нормальной форме (по крайней мере на уровне формальных рядов) пару, образованную первой гиперповерхностью и её пересечением со второй. [c.203] Здесь [д,р) — некоторые координаты Дарбу ш = йр Айд - -.. [c.203] Вернуться к основной статье