ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача об обходе препятствия из "Особенности каустик и волновых фронтов " Для препятствия, ограниченного плоской кривой, линии уровня функции расстояния являются эвольвентами кривой (рис. 93). Следовательно, эти линии уровня имеют полукубические точки возврата в точках границы, если граница выпукла (при условии, что кривиэна границы нигде не равна нулю). [c.195] В типичной точке перегиба на границе эвольвента имеет особенность порядка 5/3 (как нетрудно подсчитать). Лежандрово подмногообразие (в пространстве контактных элементов плоскости), соответствующее этому фронту, само имеет особенность (полукубическую точку возврата). [c.195] Особые лагранжевы многообразия появляются таким же образом. Экстремали, соединяющие точку многообразия с другими точками, образуют лагранжево подмногообразие пространства экстремалей. Эти лагранжевы многообразия гладки, если конфигурационное многообразие не имеет края, и могут быть особыми в противном случае. [c.195] Рассмотрим, например, кратчайшие пути из фиксированной точки евклидова 3-пространства до произвольной точки вне препятствия (рис. 94). Начальная часть такого пути является прямой, соединяющей начальную точку с точкой касания этой прямой с границей препятствия. Следующая часть — отрезок геодезической на границе препятствия. Таким образом, на поверхности препятствия возникает однопараметрическое семейство геодезических. Следующая часть пути лежит на прямой, срывающейся с поверхности в направлении, касательном некоторой геодезической семейства в некоторой точке и т. д. [c.196] В некоторых точках поверхности препятствия направление геодезической из описанного выше семейства совпадает с асимптотическим направлением поверхности. Для семейства общего положения такие точки образуют гладкую кривую (кривая а на рис. 95). Лучи, срывающиеся с поверхности в этих точках, образуют ребро возврата лагранжева многообразия срывающихся лучей. В некоторых изолированных точках кривой а геодезическая семейства касается этой кривой. [c.196] Для семейства общего положения срывающийся с поверхности препятствия в такой точке на а луч является вершиной раскрытого ласточкина хвоста, образованного срывающимися с границы препятствия лучами (рис. 10). Именно таким образом раскрытый ласточкин хвост появился в современной теории особенностей (см. [23]). [c.196] Вернуться к основной статье