ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрия бифуркационных диаграмм из "Особенности каустик и волновых фронтов " Другим следствием классификации простых проектирований является описание геометрии соответствующих бифуркационных диаграмм. Напомним сначала их некоторые общие свойства. [c.182] Рассмотрим типичное голоморфное векторное поле на плоскости, содержащей полукубическую паргьболу. Например, рассмотрим постоянное поле д/дЬ на описанной выше плоскости кубических многочленов. В точке возврата полукубической параболы вектор этого поля трансверсален касательной к этой параболе. Любое другое векторное поле, обладающее этим свойством, может быть приведено к этому специальному полю при помощи диффеоморфизма, сохраняющего полукубическую параболу. [c.183] Эти свойства полукубической параболы — её дополнение есть пространство К тг, 1) типичное векторное поле может быть выпрямлено — присущи и многим другим бифуркационным диаграммам. Например, оба эти свойства имеют место для ласточкина хвоста (см. рис. 3), для бифуркационных диаграмм нулей простых функций на многообразиях с краем и для бифуркационных диаграмм простых проектирований. [c.183] Рассмотрим, во-первых, функции на многообразии с краем. Пусть / (С ,0) —) (С,0) есть росток голоморфной функции на многообразии С , в которое вложена гиперповерхность ( край ) задаваемая уравнением ii = О (xf — координаты на С ). Точка О называется краевой особенностью /, если она является критической точкой ограничения / на край. [c.183] Определение. Число а называется критическим значением F(.,A), если многообразие F(., Л) = о либо особо, либо не трансверсально краю (гиперповерхности xi =0). [c.183] Определение. Бифуркационной диаграммой нулей краевой особенности называется множество таких точек базы версальной деформации, для которых О есть критическое значение F(., Л). Эта бифуркационная диаграмма обозначается через Е. [c.184] Пример. Бифуркационная диаграмма нулей простой особенности Сз образована такими точками (а, 6, с), для которых многочлен +ах +Ьх+с имеет либо нулевой, либо кратный корень. Эта диаграмма, изображённая на рис. 90, имеет 2 неприводимые компоненты. Одна из них (поверхность, соответствующая кратным корням) диффеоморфна цилиндру над полукубической параболой. Другая, соответствующая нулевому корню, есть плоскость с = 0. Первая компонента соответствует многообразиям нулевого уровня = О, не трансверсаль-ным краю. Вторая компонента соответствует особым многообразиям нулевого уровня (в этом примере Л1 = а, = Ь, Л3 = с). [c.184] Бифуркационные диаграммы нулей простых краевых особенностей совпадают с дискриминантами (пространствами нерегулярных орбит) соответствующих групп отражений ( 4.2). Эти алгебраические многообразия имеют однозначно определённые касательные гиперплоскости в начале координат ( Л = О в введённых обозначениях). [c.184] Теорема 1. Любое голоморфное векторное поле, трансверсальное касательному пространству бифуркационной диаграммы нулей простой краевой особенности, локально приводится к постоянному векторному полю djd при помощи голоморфного диффеоморфизма, сохраняющего бифуркационную диаграмму. [c.185] Эта теорема, открытая в [98], была доказана О.В.Ляшко в [159], [160]. В.М.Закалюкин в [29] распространил её на некоторые непростые особенности. [c.185] Теорема Ляшко базируется на теореме 2, сформулированной ниже. [c.185] Определение. Бифуркационная диаграмма функций [для краевой особенности) образована теми точками Л усечённой базы, для которых деформированная функция F(., Л, Ajj) имеет менее чем различных критических значений (заметим, что значение не существенно, так как F(.,A, A ) = F(.,A,0) + A ). [c.185] Пример. Бифуркационная диаграмма функций краевой особенности Сз образована прямой 6 = О и двумя касающимися её в начале координат в (о, Ь)-плоскости параболами (рис. 90). [c.185] Бифуркационная диаграмма квазиоднородна (инвариантна относительно квазиоднородных растяжений (а,Ь,с) (ta,t b,t )). Поэтому на рисунке изображено только её пересечение с плоскостью а = onst. [c.185] Рисунок 91 показывает, что множество Максвелла С4 диффеоморфно каустике этой особенности. Априори это далеко не очевидно. Этот результат распространяет теорему Гивенталя о двух раскрытых ласточкиных хвостах, обсуждённую в конце 4.4, на случай Ск (или Вк). Было бы интересно понять причины этой странной связи между каустиками и множествами Максвелла. [c.186] Вернёмся к общей теории бифуркационных диаграмм функций для краевых особенностей. Обобщая конструкцию Ляшко-Лойенги, каждой точке Л усечённой базы сопоставим значение свободного члена версальной деформации, для которого сумма (1 критических значений функции Р ., Л, Ад) равна нулю. Построим многочлен, корнями которого являются эти критические значения. Таким образом мы построили отображение усечённой базы в пространство многочленов степени ц, с единичным старшим и нулевым последующим коэффициентом. [c.186] Следствие. Дополнение бифуркационной диаграммы простой краевой особенности является К -к, ) пространством, где п есть подгруппа конечного индекса в группе кос из j, нитей. [c.187] Для того чтобы вывести теорему 1 из теоремы 2, рассмотрим ц моментов, когда движущаяся вдоль нашего векторного поля частица пересекает дискриминант. Эти моменты задают прямую, в которую требуемый диффеоморфизм должен отобразить орбиту этой частицы, с точностью до выбора из конечного числа возможностей. [c.187] Деформация стандартного векторного поля в наше векторное поле единственным образом может быть накрыта некоторой деформацией тождественного диффеоморфизма эта конструкция доставляет требуемый диффеоморфизм, сохраняющий дискриминант (подробности описаны в [159], [160]). [c.187] Вернуться к основной статье