ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Особенности проектирований полных пересечений из "Особенности каустик и волновых фронтов " Классификации особенностей различных объектов показывают, что алгебраически наиболее естественны классификации простых объектов, то есть объектов, не имеющих модулей. Так, классификация простых критических точек функций, простых особенностей гиперповерхностей, простых лагранжевых и лежандровых особенностей, простых особенностей каустик и волновых фронтов ведёт к списку Ет, Е диаграмм Дынкина, не имеющих кратных рёбер (углов, отличных от 120° между неортогональными простыми корнями), см. [2], Классификация простых критических точек функций на многообразии с краем ведёт к тому же списку, дополненному диаграммами В , С , F4 (допускаются углы в 135°). [c.168] Слой расслоения над Р задаёт проектирование Ур Ер —Н-. Вр. Многообразие Ур становится особым при бифуркационном значении параметра р. [c.169] Определим надстройку проектирования У Е В как включение Е в пространство большего расслоения с той же самой базой В (в качестве подрасслоения). Стабильная эквивалентность проектирований обозначает эквивалентность их подходящих надстроек. Проектированием на называется проектирование, для которого размерность базы В не превышает размерности проектируемого многообразия У. [c.169] Проектирование на В задаёт семейство подмногообразии в слоях расслоения Е —В (семейство пересечений У со слоями). Росток проекции У Е В может быть рассмотрен как деформация многообразия 14) в некотором выделенном слое. Коразмерность УЬ в этом слое равна коразмерности У в Е. [c.169] Теорема (см. [131]). Простой росток проектирования на послойно стабильно эквивалентен деформации либо гиперповерхности, либо кривой в 3-пространстве, либо (кратной) точки на плоскости. [c.169] Теорема. Деформация кривой в С задаёт простой росток проектирования, если и только если эта деформация является версальной деформацией простой особенности кривой в С . [c.170] Список простых особенностей пространственных кривых в С , за даваемых двумя уравнениями, был опубликован М.Джусти в [154]. Иерархия этих особенностей изображена на рис. 83. [c.170] Версальная деформация особого многообразия в некоторой его точке определяется следующей конструкцией (мотивировка которой может быть найдена, например, в [28]). [c.170] Деформация ростка x f x) = 0 коразмерности т в начале координат есть росток Р(ж,Л) такой, что (а , 0) = /(ж). Деформация версальна, если образы начальных скоростей деформации. [c.170] Проектирование поверхности Р) = Рг = О на Л-пространство имеет простую особенность в начале координат. [c.171] Таким образом список Джусти (приведённый выше) содержится в списке Горюнова пространственных кривых. [c.171] Сравнение списков Горюнова и Джусти показывает, что появляющиеся в списке простых особенностей проектирований V Е -н- В подмногообразия V, которкге не являются стабильно эквивалентными проектированиям гиперповерхностей, являются в действительности гладкими подмногообразиями Е. Для остальных простых проектирований полных пересечений подмногообразия V не обязательно гладкие. [c.171] Здесь мы приведём ту часть этого списка, которая соответствует проектированиям на комплексную прямую. [c.171] Теорема (см. [131], [130]). 1) Для простого ростка проектирования на прямую проектируемое подмногообразие является (с точностью до расслоённой стабильной эквивалентности) либо гиперповерхностью, либо (особой) кривой в 3-пространстве, либо (кратной) точкой на плоскости или в 3-пространстве. [c.172] Примыкания изображены на рис. 86. [c.174] Эта классификация ведёт к следующим выводам. [c.174] СПИСКОМ, ЧТО классифицирует краевые особенности [3]. Обычные (не краевые) особенности соответствуют проектированиям гладких гиперповерхностей. [c.175] Отношение эквивалентности в теории краевых особенностей гиперповерхностей шире чем в теории особенностей проекций гиперповерхностей в первом случае эквивалентностями являются диффеоморфизмы, сохраняющие край (одну гиперповерхность), в то время как во втором случае эквивалентности сохраняют расслоение (на гиперповерхности, параллельные данной гиперповерхности). [c.175] Совпадение обоих списков — результат априори неожиданный. Эти списки совпадают также со списком простых краевых особенностей функций (а также со списком простых краевых лагранжевых и лежандровых особенностей). Инфинитезимальное объяснение этих совпадений (использующее аргументы квазиоднородности) приведено в 2 работы [133]. [c.175] Вернуться к основной статье