ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функции с умеренными особенностями из "Особенности каустик и волновых фронтов " Топология и комбинаторика различных бифуркационных диаграмм (например, фронтов, каустик и т. д.) доставляет большое количество топологических инвариантов, как в комплексном, так и в вещественном случае. [c.141] В вещественном случае компоненты дополнений дискриминантов простых особенностей стягиваемы. Мы можем, однако, рассматривать дополнения стратов дискриминантов их топология далеко не тривиальна. [c.141] В глобальной ситуации, мы можем рассмотреть пространства (вещественных) гладких функций на данном дифференцируемом многообразии, с некоторыми ограничениями на критические точки этих функций (например, пространства морсовских функций, пространства функций с особенностями кратности меньшей чем f и т. д.). Топологические и гомотопические инварианты таких пространств доставляют, в принципе, инварианты дифференцируемой структуры исходного многообразия. [c.141] Как мы скоро увидим, даже в простейшем случае функций от одной переменной появляются интересные топологические пространства. [c.141] Пример. Рассмотрим пространство функций от одной переменной, особенности которых не сложнее чем А2 (то есть разрешены морсовские точки и точки типа х ). Для простоты предположим, что на бесконечности функции ведут себя подобно х (для функций, ведущих себя на бесконечности подобно или для функций на окружности результаты аналогичны). [c.141] Теорема. Фундаментальная группа пространства функций на вещественной прямой, не имеющих критических точек кратности превышающей 2, изоморфна группе целых чисел. [c.141] Явный изоморфизм задаётся с помощью следующего индекса петли /(х, i) , соединяющей f x, 0) = z и f x, 1) = х. [c.141] Доказательство теоремы изображено на рис. 69 (более подробное доказательство имеется в [92]). [c.142] Существует интересная аналогия между (вещественными) алгебраическими функциями или отображениями и расслоениями Серра. Например, типичная деформация множества вещественных корней многочлена (корни могут исчезать парами) может быть накрыта типичной деформацией многочлена и т. д. [c.142] Замечание. Индекс петли в пространстве функций на вещественной прямой, ведущих себя на бесконечности подобно функции х, является индексом пересечения со стратом Максвелла (замыканием гиперповерхности, образованной функциями которые имеют равные критические значения в разных критических точках). Страт Максвелла имеет естественную коориентацию (несмотря на его особенности, он определяет одномерный класс когомологий). А именно, деформация функции с двумя равными критическими значениями положительна, если правое критическое значение становится больше чем левое, в случае когда оба критических значения являются максимумами (или минимумами). Если одна критическая точка — точка максимума, а другая — точка минимума, то деформация положительна, если она увеличивает значение левой точки по сравнению со значением правой. [c.143] Предостережение. Не существует никакой естественной коориентации страта Максвелла в пространстве функций на окружности. [c.143] Рассмотрим область функций без кратных корней кратности, превышающей к, и обозначим её через Пк М). Например, П1 М) есть дополнение ласточкина хвоста в Л/ -пространстве, — дополнение (замыкания) его ребра возврата, Пк М) = (замыкание Ак). [c.144] Индекс, рассматривавшийся выше, есть образующая группы когомологий Я ( 2(оо), Z) Z. Почка , изображённая на рис. 68, есть образующая группы Я1 (D2(Л/ ),Z) iri D2 N)) a Z при iV 3. [c.144] Пример. Стабильные группы тг2(С2(оо)) тг2(В2(9)) Ъ. Рассмотрим проекции гладких поверхностей в 3-пространстве на горизонтальную плоскость вдоль вертикальной прямой. Предположим, что все особенности — складки. Наши стабильные гомотопические группы могут быть отождествлены с группами кобордизмов таких проекций. [c.145] Точка на линии складки называется чётной (нечётной), если чётно (нечётно) число точек пересечения поверхности и вертикальной линии, лежащих между данной точкой и бесконечностью (подсчитанных с кратностями). [c.145] Все точки замкнутой линии складки имеют одинаковую чётность. Таким образом, линии складки разделяются на два типа чётные компоненты и нечётные компоненты. [c.145] Индексом поверхности называется коэффициент зацепления объединений чётных и нечётных линий складки (снабжённых естественными ориентациями). [c.145] Топология пространств функций с умеренными особенностями может быть использована для изучения топологических свойств каустик и волновых фронтов, а также лагранжевых и лежандровых особенностей. [c.145] Пример. Индекс кривых, порождающий Н П2), различает два типа лагранжевых сборок. [c.145] Функции из этого семейства, соответствующие точкам д, которые не являются точками возврата, не имеют особенностей сложнее чем А2. Следовательно, петля, ограничивающая диск в д-плоскости с центром в точке возврата, имеет индекс. Этот индекс равен 1 для точек возврата одного типа, и —1 — для точек возврата другого типа. [c.146] Вернуться к основной статье