ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Лагранжевы и лежандровы кобордизмы из "Особенности каустик и волновых фронтов " Отношение кобордизма налагает определённые ограничения на особенности, имеющиеся в различные моменты времени. Например, чётности чисел точек возврата кобордантных фронтов должны быть равными. [c.114] Определение лагранжева кобордизма опирается на понятие лагранжева края. Рассмотрим лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения многообразия с краем. Физически лагранжево подмногообразие описывает коротковолновую асимптотику волнового поля. Волновое поле в области индуцирует волновое поле на краю зтой области. Его асимптотика определяет лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения края. Это лагранжево подмногообразие называется лагранжевым краем исходного (лагранжева) подмногообразия. Размерность лагранжева края на единицу меньше размерности исходного подмногообразия, и оно вложено в симплектическое пространство, размерность которого на 2 меньше размерности исходного симплектического пространства. [c.114] Другими словами, вложение дУ V индуцирует проекцию 9(Т У) Т дУ) из края пространства кокасательного расслоения в пространство кокасательного расслоения края (эта проекция отпра вляет 1-форму в точке края в ограничение зтой формы на край). [c.114] Задача. Докажите, что образ этой проекции на самом деле иммерси-рован. [c.115] Лежандров край определяется аналогичной конструкцией. Рассмотрим, например, (иммерсированное) лежандрово подмногообразие пространства 1-струй функций на многообразии М с краем дМ. [c.115] Лежандрово подмногообразие, трансверсальное краю пространства струй, пересекает его (край) вдоль (иммерсированного) подмногообразия. Проекция в этого пересечения называется лежандровым краем исходного лежандрова подмногообразия. Размерность края на 1 меньше размерности исходного подмногообразия. Физическая интерпретация очевидна фронт лежандрова края является обычным краем фронта исходного подмногообразия. [c.115] Задача. Докажите, что образ этой проекции действительно иммерси-рован. [c.115] Рассмотрим теперь контактное пространство РТ В контактных элементов многообразия В с краем дБ. Снова рассмотрим проекцию, отправляющую каждый контактный элемент в точке дБ в его пересечение с касательным пространством края. Предположим, что иммерсированное лежандрово подмногообразие пространства РТ В трансверсально краю д РТ В) этого пространства. [c.115] Спроектированное лежандрово многообразие называется лежандровым краем исходного многообразия. [c.115] Рассмотрим два замкнутых (т. е. компактных беэ края) лагранжева подмногообразия Ьо и 1 пространства кокасательного расслоения Т У. Лагранжевьш, (цилиндрическим) кобордизмом между Ьо и (рис. 56) называется лагранжево подмногообразие пространства Т У X [о, 1]) (кокасательного расслоения цилиндра над У), лагранжев край которого есть разность между 1 1 X 1 и 1 о X О (для ориентированных кобордизмов изменение ориентации многообразия индуцирует изменение знака в кобордизме в неориентированном случае коэффициенты принадлежат 7г). [c.116] Классы лагранжево цилиндрически кобордантных подмногообразий образуют полугруппу, которая на самом деле является группой (см. [106], [107]). Эти группы называются группами классов лагранжевых ориентированных (соответственно неориентированных) цилиндрических кобордизмов над V (для краткости называемых группами лагранжевых кобордизмов над V). [c.116] Случай V = К особенно интересен, так как группы кобордизмов над К и градуированные кольца сумм этих групп играют роль групп и колец коэффициентов для теорий бордизмов. [c.116] В случае лежандровых многообразий, вместо кобордизмов лежандровых иммерсий, можно просто рассматривать кобордизмы фронтов (так как лежандрово подмногообразие однозначно определяется своим фронтом). Единственное требование — трансверсальность кобордиэ-ма фронтов краю базы лежандрова расслоения, в котором находится соответствующее кобордиэму лежандрово подмногообразие (чтобы избежать ссылок на теорию трансверсальности стратифицированных особых многообразий, можно считать, что в некоторой окрестности края фронта кобордизм является прямым произведением этого края и полуинтервала). [c.117] Списки перестроек лагранжевых и лежандровых особенностей ( 2.3 и 3.3) позволяют явным образом вычислить группы кобордизмов в малых размерностях. [c.117] Доказательство зтой теоремы изображено на рис. 58. Во-первых мы можем рассматривать только типичные фронты и их кобордизмы. Типичный одномерный фронт является замкнутой кривой с точками возврата. В точке возврата касательная к фронту не вертикальна (для фронтов в пространстве струй функций). Следовательно, мы можем различать 4 типа точек возврата фронтов отклоняющих влево или вправо на восходящих или нисходящих фронтах. [c.117] За отклоняющей влево точкой возврата всегда следует точка возврата, отклоняющая вправо, и наоборот, следовательно число точек возврата чётно. [c.117] состоящая из точек возврата на восходящей и нисходящей ветви (в любом порядке), может быть сокращена перестройкой типа ласточкин хвост. Следовательно мы можем предположить, что на связном фронте все точки возврата — на восходящей (или нисходящей ветви).. [c.118] Вернуться к основной статье