ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Главные отображения периодов из "Особенности каустик и волновых фронтов " Упражнение. Докажите, что любая пуассонова структура с этими свойствами может быть приведена к вышеприведённой нормальной форме локальным диффеоморфизмом, сохраняющим ласточкин хвост. [c.109] Пуассоновы структуры на базах версальных деформаций, определённые типичными отображениями периодов, не являются типичными по отношению к соответствующим бифуркационным диаграммам их ограничения на различные страты бифуркационных диаграмм или на касательные пространства к этим диаграммам в точках стратов меньших размерностей сохраняют некоторую информацию о типах вырождений на этих стратах соответствующих многообразий уровня V. [c.109] Лагранжева природа раскрытых ласточкиных хвостов и тот факт, что линия самопересечения обычного ласточкина хвоста принадлежит слою пуассоновой структуры, определённой отображением периодов, являются проявлениями этого общего феномена. [c.109] Для ласточкиных хвостов большей размерности ограничения, накладываемые на пуассоновы (или симплектические) структуры, реализуемые отображениями периодов (типичных форм), не перечислены. [c.109] Рассмотрим случай, когда слои имеют чётную (комплексную) размерность. В этом случае форма пересечения симметрична. [c.109] Определение. Главными отображениями периодов функции п = 2A + 1 переменных называются инфинитезимально невырожденные к-е ассоциированные отображения периодов голоморфных форм. [c.110] Теорема 9. Если форма пересечений невырождена, тх изоморфизм Т (Л Е) Т,(Л Е), определённый любглм главным отображением периодов, изоморфно отображает модуль ростков голоморфных дифференциальных 1-форм на А на модуль ростков в нуле голоморфных векторных полей на А, касающихся Е. [c.110] Эта теорема является прямым обобщением конструкции полей, касающихся фронта, основанной на сворачивании инвариантов группы евклидовых отражений. В общем случае евклидова метрика заменена формой пересечений главного отображения периодов. [c.110] Отображение периодов сопоставляет точке базы элемент пространства когомологий слоя над этой точкой элемент определён с точностью до действия группы монодромии. В случае простой особенности мы получим отображение многообразия Л Е (дополнения к бифуркационному множеству в базе версальной деформации) в многообразие орбит соответствующей группы отражений. [c.110] Эта теорема, следующая из результатов Э.Лойенги [105], показывай ет, что главное отображение периодов обобщает сворачивание инвариантов групп отражений. [c.111] Рассмотрим линеаризованное сворачивание инвариантов. Пытаясь обобщить его, мы столкнулись со следующей трудностью для непростых особенностей, в отличие от простых, сворачивание двух функций, нулевых в нуле, не обязательно равно нулю в нуле. В зтом случае линейная часть сворачивания в нуле не определена линейными частями функций. [c.111] Таким образом, главное отображение периодов квазиоднородной функции, имеющей невырожденную форму пересечений, определяет линеаризованную операцию сворачивания С TqA X TqA TqA. [c.111] Теорема 11. Операция с, построенная по любому главному отображению периодов квазиоднородной функции, совпадает с одной иэ операций ф1, построенных в 4.2 по локальной алгебре Q этой функции. Каждая операция ф1, с допустимым I, является операцией с для подходящего главного отображения периодов. [c.112] Насколько мне известно, для вещественных непростых функций соотношение между сигнатурами форм ф1, определёнными линеаризованным сворачиванием , и сигнатурами форм В Левина-Ейзенбада (см. 4.2) до сих пор не исследовано. [c.112] Обобщения предыдущих теорий на неквазиоднородный случай и изучение образов многозначных отображений периодов в случае непростых особенностей существуют пока что только в зачаточной форме (возможно, такой образ должен рассматриваться в обобщённой верхней полуплоскости Зигеля, определённой как пространство смешанных структур Ходжа с данными дискретными инвариантами). [c.112] Вернуться к основной статье