ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Перестройки фронтов из "Особенности каустик и волновых фронтов " Связь между особенностями фронтов и теорией групп отражений оказалась мощным инструментом при изучении геометрии фронтов, предоставляя возможность использовать теорию инвариантов, групп и алгебр Ли, алгебраическую геометрию и т. д. [c.75] Особенности движущихся фронтов могут изменять свою форму. Например, фронт возмущения, распространяющегося внутрь эллипса (внутренние эквидистанты эллипса, см. рис. 36), является гладким для малых i, приобретая 4 точки возврата при больших t. [c.75] Перестройки фронтов, как и перестройки каустик, легче изучать в пространстве-времени. Объединение фронтов в различные моменты времени образует гиперповерхность в пространстве-времени. Легко видеть, что эта гиперповерхность, образованная типичным движущимся фронтом, сама является фронтом типичного лежандрова отображения подмногообразия, размерность которого на 1 больше размерности изучаемого движущегося фронта. [c.75] Действительно, пусть Ft(x,q) будет производящим семейством лежандрова отображения, зависящего от времени t. Тогда, рассматривая t как дополнительный параметр, мы можем рассматривать F как производящее семейство лежандрова отображения в g,t) пространство-время. Гиперповерхность в пространстве-времени, образованную фронтами в различные моменты времени, будем называть большим фронтом. [c.75] Пример. Объединение внутренних эквидистант эллипса, помещённых в различных плоскостях t = onst (где t — расстояние до эллипса), является большим фронтом в трёхмерном пространстве-времени. Этот фронт имеет 4 ласточкина хвоста (рис. 44). [c.75] Пример. Если исходное пространство трёхмерно, то особенности типичных больших фронтов диффеоморфны либо дискриминантному многообразию (дискриминанту) группы или D4, либо произведению прямой на дискриминант группы A3 (ласточкин хвост), либо произведению плоскости на дискриминант группы А . (полукубическую параболу). Возможны также трансверсальные самопересечения. [c.76] Теорема 1 (см. [1]). Росток типичной функции в нуле многообразия орбит неприводимой группы евклидовых отражений (значение функции в нуле равно нулю) приводим к ростку лилейной функции диффеоморфизмом многообразия орбит, сохраняющим дискриминантную гиперповерхность. Точнее, он может быть приведён к ростку инварианта наименьшей степени (равной 2). [c.76] Теорема 2. Если второй дифференциал в нуле функции, инвариантной относительно неприводимой компактной группы линейных преобразований, невырожден, то в некоторой окрестности нуля функция приводима к своей квадратичной части зквивариантным то есть коммутирующим с действием группы) диффеоморфизмом. [c.77] Эта теорема легко доказывается, подобно обычной лемме Морса, гомотопическим методом. Единственным новым ингредиентом является построение эквивариантного решения гомотопического уравнения усреднением по компактной группе. Детали доказательств теорем 1 и 2 изложены в [1]. Обе теоремы верны в голоморфном, аналитическом и гладком случаях. [c.77] Замечание. Хотя следствие легко следует из этих теорем, кажется невозможным открыть его с их помощью. Действительно, теоремы 1 и 2 были открыты только после того, как следствие было доказано путём длинных вычислений (использовавших явные формулы для векторных полей, касающихся ласточкина хвоста). Мы вернёмся к этим векторным полям позже ( 4.1-4.2). [c.77] Рассмотрим -мерное ребро большого фронта, соответствующее особенности типа (где X обозначает А, О или Е). В невырожденных точках ограничения функции времени на ребро перестроек мгновенных фронтов нет. В некоторой окрестности некритической точки большой фронт, вместе с его сечениями изохронами, диффеоморфен произведению мгновенного фронта на ось времени (этот диффеоморфизм пространства-времени сохраняет время и не сохраняет, в общем случае, точки пространства). [c.78] Для типичной функции времени росток ф в нуле типичен, следовательно (по теореме 1) приводим к виду ф= Х + onst (где Ai есть инвариант наименьшей степени) диффеоморфизмом многообразия орбит, сохраняющим дискриминант. [c.78] Таким образом, мы получили нормальные формы типичных перестроек, зависящих от времени фронтов в пространствах размерности 5. [c.78] Перестройки двумерных фронтов в момент времени 4 = 0 изображены на рис. 47 (на рисунке изображены фронты в моменты 4 О, Ь = О и t О, прошлое и будущее могут меняться местами). [c.79] Кроме того, различные ветви фронта свободно движутся друг сквозь друга. Следовательно, в изолированные моменты возникают дополнительные перестройки одна ветвь может проходить через точку пересечения двух других, или через точку возврата две ветви могут касаться друг друга, соответствующая перестройка — рождение или смерть двух точек пересечения. [c.79] Перестройки фронтов в пространствах больших размерностей описаны в [95], [96], [28]. Изображения перестроек фронтов в трёхмерном пространстве приведены на рис. 48 (взятом из [98]). [c.79] Замечание. Некоторые из описанных выше перестроек фронтов не реализуемы при распространении волновых фронтов. В самом деле, нетривиальные перестройки Ах и А2 изменяют число связных компонент соответствующего лежандрова многообразия. Следовательно, они не могут появиться как перестройки эквидистант гиперповерхностей. [c.80] Тем не менее, они могут появиться при изучении лежандровых ко-бордизмов , как, например, в следующей ситуации. Рассмотрим след движущегося в пространстве фронта (скажем, ударной волны от летящего самолёта) на поверхности Земли. Топология лежандрова многообразия, соответствующего фронту в пространстве, в процессе движения фронта остаётся неизменной. Но лежандрово многообразие, описывающее след фронта на поверхности Земли, в определённые моменты времени претерпевает (морсовские) перестройки. [c.80] Вернуться к основной статье