ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Особенности фронтов из "Особенности каустик и волновых фронтов " Классификация лежандровых особенностей сводится к изучению семейств гиперповерхностей таким же образом, каким изучение лагранжевых особенностей было сведено к классификации семейств функций. [c.69] Полученное таким образом лежандрово подмногообразие проектируется на исходное лагранжево подмногообразие с помощью естественной проекции J (M,R) Т М ( забывания значений функции ). [c.69] Проекция р, q z) (q z) является лежандровым расслоением (контактная структура dz = р dq). [c.69] Мы получили лежандрово отображение лежандрова подмногообразия Л на свой фронт (в пространстве с координатами [q z)). [c.69] Это — гладкая кривая, но её фронт (при проекции на (д г)-плоскость) имеет полукубическую точку возврата. [c.70] Пример 2. Производящее семейство особенности Аз (см. 1.3) определяет фронт, диффеоморфный ласточкину хвосту. [c.70] Связь между фронтами и группами отражений будет важна в дальнейшем, поэтому мы остановимся на ней подробнее. [c.70] Группа отражений — конечная группа, порождённая некоторым множеством отражений. [c.71] Пример 1. Плоские группы отражений являются группами симметрий h n) правильных п-угольников (рис. 40). [c.71] Группа отражений в действует также на комплексном пространстве С . Орбиты этого комплексного действия образуют гладкое многообразие орбит В, диффеоморфное (это следует из обобщения теоремы о симметричных функциях). Отображение В, отправляющее точку в её орбиту, называется отображением Виета. [c.71] Отображение Виета отправляет множество корней (го. г ) в множество коэффициентов (Ль. .., Л ). Это отображение определено элементарными симметрическими многочленами ((Т21 1 Т р+1) от г. [c.71] Число точек орбиты типичной точки под действием группы отражений равно числу элементов группы. Однако, некоторые орбиты меньше. Такие орбиты называются нерегулярными. [c.72] Определение. Многообразие нерегулярных орбит называется дискриминантной гиперповерхностью. Дискриминантная гиперповерхность является образом зеркал при отображении Виета. [c.72] Пример 1. Дискриминантным многообразием группы Л2 (порождённой отражениями плоскости относительно трёх прямых, образующих углы 120°) является плоская полукубическая парабола (рис. 41). [c.72] Таким образом, предыдущая теорема утверждает, что фронты, определённые производящими семействами А, О, Е, диффеоморфны обобщенным ласточкиным хвостам, ассоциированным с соответствующими неприводимыми группами отражений. [c.72] Каждая точка представляет вектор в евклидовом -мерном пространстве. Две точки соединены линией, если соответствующие векторы образуют угол 120°. В противном случае векторы ортогональны. [c.73] Образующие зеркала — гиперплоскости, ортогональные этим векторам. [c.73] Лежандровы особенности типов А, П, Е устойчивы и просты (не имеют модулей). Типичные лежандровы отображения п многообразий размерности п 5 имеют только простые и устойчивые особенности, лежандрово эквивалентные 2 , Е/ (1 п + 1). Особенности типов Лр, E J, (и только они) являются простыми и устойчивыми и при больших п. [c.73] Типичные лежандровы отображения многообразий размерности п 5 имеют, кроме особенностей типов Л, П, Е, и другие особенности, имеющие модули (непрерывные инварианты). Более подробно классификация лежандровых особенностей описана в [94], [28], [29]. [c.73] Обе особенности устойчивы (сохраняются при малой деформации фронта). [c.74] Вернуться к основной статье