ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точки решёток из "Особенности каустик и волновых фронтов " Современная теория лагранжевых особенностей и осциллирующих интегралов приводит к интересным соотношениям между дифференциальной геометрией и теорией чисел. [c.39] Действительно, рассмотрим слой между сферами радиусов г и г 4- а. Число точек решётки в этом шаровом слое пропорционально г . Число сфер, содержащих эти точки, (т. е. число целых чисел, находящихся между и (г -Ь о) ) пропорционально г. Следовательно, согласно принципу ящиков Дирихле, существует сфера, содержащая не менее QJ.n-2, рочек решётки. Следовательно Д(А) СА для некоторых (произвольно больших) значений Л. [c.39] ДЛЯ областей С, ограниченных типичными гиперповерхностями в К , ори п 7. [c.40] Неизвестно, справедлива ли эта оценка в больших размерностях. При п — 2 показатель в этой оценке — наилучший при больших п показатель может быть меньше, но это не доказано даже в случае положительной кривизны. [c.40] Теория лагранжевых особенностей даёт некоторое обоснование -этим эвристическим рассуждениям. [c.40] Теорема (А.Н.Варченко [60]). Среднее квадратичное значение остатка Д(А) , усреднённое по Множеству решёток, полученных сдвигами и вращениями из стандартной решётки, мажорируется величиной для любой области в К , ограниченной гладкой гиперповерхностью. [c.40] Идея доказательства похожа на идею доказательства унитарности канонического оператора Маслова фазовая функция /(ж) — (д,х), рассматриваемая как функция двух аргументов жид, имеет только морсовские критические точки. [c.40] Для того чтобы оценить ошибку в квадратурной формуле для функции на торе, естественно сначала применить эту формулу к гармоникам (впоследствии представляя функцию как линейную комбинацию гармоник). Для гармоник ошибка может быть явно вычислена она равна О, за исключением некоторых специальных гармоник с большими волновыми векторами (пропорциональными А). Следовательно, ошибка зависит, главным образом, от коэффициентов Фурье с этими большими волновыми векторами характеристической функции множества С (функций, равных 1 внутри С и О вне С в кубе решётки). [c.40] Таким образом ошибка может быть измерена в терминах осцилли-руюш их интегралов, критические точки фазы которых отражают перегибы и уплощения границы. Следовательно особенности систем лучей, ортогональных границе, управляют асимптотиками числа точек решётки в расширяющихся областях. [c.41] Для периодической функции, интеграл в формуле (1) берётся по одному кубу (периоду), а сумма — по Л слагаемым, соответствующим точкам этого куба (другими словами, мы интегрируем по тору R /Z и суммируем по подгруппе корней порядка А из единицы на этом торе). [c.41] Экспонента в зтом интеграле быстро осциллирует при больших к. Если / является характеристической функцией области О, то этот интеграл может быть преобразован к интегралу по границе, с фазой —2лг(х, к). [c.41] Вырождения критических точек ограничения этой линейной функции на границу ответственны за порядок величины коэффициентов Д, и, следовательно, за порядок величины остатка Д(А). [c.42] Конечно, ряд Фурье характеристической функции сходится медленно. Следовательно, вывод оценки для Д из оценок для коэффициентов Фурье требует некоторого сглаживания характеристической функции (так называемый метод Ван дер Корпута). О деталях этой техники можно узнать в [32], [60], [61]. [c.42] Такая же оценка верна для числа граней любой (фиксированной) размерности такого многогранника. [c.42] Замечание 1. Приведённые выше оценки энтропии множества выпуклых гиперповерхностей с целочисленными вершинами могут быть интерпретированы как оценки влияния выпуклости и целочисленного квантования энтропия множества целочисленных выпуклых поверхностей имеет тот же порядок, что и е-энтропия множества функций порядка гладкости 14-1/ 1. Так как выпуклость, более или менее, эквивалентна 1-гладкости, цена целочисленной квантизации — 1/гг-ая от одной производной. [c.42] Замечание 2. Взаимодействие гладкой и целочисленной структур является решающим в оценках числа точек решёток. Оно также существенно и в других задачах анализа. [c.42] Вернуться к основной статье