ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача Нейбера из "Упруго-пластическая задача " Рассмотрим задачу о распределении напряжений при сложном сдвиге тела с вырезом различной формы при произвольном законе упрочнения. [c.47] Положим Я/га = я/(я —p), тогда i )==0 на прямых y==tg(p/2) и == —ж tg (p/2). Формулы (2.9.1) описывают напряженное состояние при сложном сдвиге призматического тела с вырезом с углом р. При этом на положительной полуоси х имеем 0 = 0, ж = т(т)/йт. Из последнего соотношения определяется зависимость т от д (эпюра напряжений). [c.47] Подставляя (2.9.5) в (2.9.3) и интегрируя, найдем. [c.49] Для удобства введем новую комплексную величину Я = а +.гр. [c.49] Здесь Ко и Po — геометрические параметры выточки. [c.50] Из соотношения (2.9.11) легко получить решение для полуплоскости, ослабленной отверст11ем. Для этого необходимо в (2.9.11) заменить а на га. Приведем численный пример, заимствованный из [2], для п/к — 0,2, ioo = 1,0, а = 2,12, Рь = 1,12. В этом случае глубина выточки равна 1,02, наименьшее расстояние между выточками составляет два диаметра. На рис. 2.23 показано распределение напряжений вдоль контура, а также линии постоянной депланации и линии напряжений. [c.50] Для получения решения задачи для полуплоскости с периодически повторяющимися выточками необходимо в (2.9.13) и (2.9.14) заменить а на га. На рис. 2.25 показаны распределения напряжений вдоль контура, а также линии постоадной депланации и линии напряжений. Численный расчет проведен для полосы с двумя выточками для и/ = 0,2, со = 1,0, 0 = 0,82, Ро = 1,40 [2]. Ширина полосы равнялась 4, а глубина выточки 1. [c.50] Функция Ч удовлетворяет в упругой области уравнению Лапласа АЧ =0, а в пластической области — уравнению (2.8.26). [c.51] Функцию Ч можно рассматривать как мнимую часть некоторой аналитической функции Ч = 1т /(р). [c.52] Из соотношений (2.9.22) и (2.9.23) следует, что Г %) — f %) анали-тична во внутренности единичного круга I I 1, включая точки вдоль разреза. [c.53] Здесь g( ) аналитична всюду внутри круга I l 1 и ее разложение в ряд Тейлора содержит только четные степени. [c.53] Правая часть (2.9.31) может быть разложена в ряд по четным степеням о, содержащим отрицательные и положительные степени, в то время как левая часть содержит лишь положительные степени о . Следовательно, положив равными нулю коэффициенты при а , а ,. .., получим бесконечную систему линейных уравнений для определения В,,. После нахождения и подстановки их в (2.9.31), а также замены о на найдем g %). Зная Вь и функцию иСО, легко определить физические координаты точек, деформируемых в упругой и пластической областях. [c.54] Поскольку решение системы уравнений для В в замкнутом виде затруднительно, то целесообразно применять разложения по малому параметру. [c.54] НИЯ Too = 0,6ts Й T o = 0,8ts. Рис. 2.29, 2.30 показывают тенденцшо перехода от круглых пластических зон при наличии пластических деформаций в малой области к вытянутым зонам при болыпой области пластичности. [c.59] Здесь Тг = оУУЗ по условию Мизеса, т = оУ2 по условию Треска — Сен-Венана, о — предел текучести при растяжении. [c.60] Считаем, что при переходе через границу между упругой и пластической зонами все компоненты напряжений и смещение остаются непрерывными. [c.61] Здесь интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения Р. [c.61] Для упруго-пластического кручения призматических стержней существует аналогия, установленная А. Надаи (см. [17] к гл. I). Суть ее состоит в следующем. Строится поверхность, соответствующая функции напряжений в пластической области. К этой поверхности прижимается мембрана, загруженная равномерно распределенным давлением. Функция, которая соответствует форме, принимаемой мембраной, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и функция напряжений Ч в упругой области. Участки прилегания мембраны к поверхности будут соответствовать пластическим областям. Остальная часть будет соответствовать упругой области. [c.61] Задача упруго-пластического кручения имеет ряд вариационных формулировок. [c.61] Вернуться к основной статье