ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод комплексных амплитуд из "Колебания и волны Лекции " Если сила (2.5) меняется с произвольной частотой ю, то амплитуда Sq и фаза ф , входящие в решение (2.7), могут быть найдены, как было сказано выше, подстановкой решения (2.7) в уравнение (2.10). Такую подстановку можно осуществить наиболее просто, если воспользоваться методом комплексных амплитуд, широко применяемым в различных областях физики теории колебаний, теории волн, электромагнетизме, оптике и др. [c.31] С уменьшением коэффициента 5 АЧХ меняет свою форму, как это изображено пунктиром на рис. 2.3 для 5 5. Полоса пропускания Аю уменьшается, добротность О возрастает, и резонанс становится более острым. [c.33] Наряду с резонансом смещений можно говорить о резонансе скоростей 5 и резонансе ускорений 5. [c.33] Отметим также, что по причинам, рассмотренным ранее, в области низких частот малы как ускорение, так и скорость. В области высоких частот ускорение конечно (5оЮ — 7 0 т) и обеспечивается лишь внешней силой. Однако скорость по-прежнему незначительна, поскольку тело не успевает разогнаться. [c.34] Не представляет труда нарисовать самостоятельно фазо-частотные характеристики для скорости и для ускорения, пользуясь формулами (2.39) и (2.40), поскольку они получаются простым сдвигом ФЧХ для смещения (2.32), изображенной на рис. 2.5, вверх соответственно на л/2 или на л. [c.34] Если параметры от и известны, то можно определить р, измеряя амплитуду первого колебания после воздействия. [c.35] Установление колебаний. Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени / = О, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. Установление колебаний связано с тем фактом, что наряду с вынужденными колебаниями на частоте ю будут возбуждены и собственные колебания на частоте -5 , которые, конечно, будут затухать. [c.36] За это время в систему закачивается энергия, поскольку до установления колебаний работа внешней силы превышает работу сил трения. В установившемся режиме имеет место баланс поступающей и расходуемой энергий. [c.36] Отметим, что формула (2.51) определяет лишь порядок величины (временной масштаб) А/у . Для практических целей время установления (равно как и время затухания) колебаний принимают равным А/у = (3 5)т. [c.36] На фазовой плоскости (рис. 2.76) фазовая траектория будет постепенно раскручиваться из начала координат и стремиться к предельному циклу — эллипсу, изображенному на рисунке пунктирной линией. [c.37] Характеристики различных колебательных систем (осцилляторов). Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами) Примерами таких осцилляторов могут быть механические (рассмотренные выше), электрические (известные из школьного курса физики, например, колебательный контур), оптические (например, электрон в атоме) и другие системы. [c.37] Вначале обратимся к характеристикам наиболее распространенного осциллятора — маятника, представляющего собой тело, подвешенное на нити. [c.37] Маятник является одним из древнейших физических приборов. С помощью крутильных маятников были открыты законы гравитационного и электрического взаимодействий, измерено давление света, выполнено множество других физических экспериментов. В последнее время предложен и реализуется ряд новых экспериментов для изучения фундаментальных свойств материи, в которых очень малые силы измеряются с помощью крутильных маятников. Чувствительность таких экспериментов зависит от того, насколько ослаблены сейсмические возмущения, действующие на маятник, а также от стабильности его параметров, например, упругих свойств нити подвеса. Но даже если устранены все внешние возмущающие воздействия, остается один принципиальный источник флуктуаций его амплитуды и фазы колебаний. Это хаотическое тепловое движение молекул в нити подвеса и подвешенном теле. Действующая на него флуктуационная сила зависит от температуры и от добротности маятника. Чем выше добротность маятника, тем медленнее затухают его колебания и диссипирует его энергия, превращаясь в тепло, т.е. хаотическое движение молекул. Это означает, что ослабевает и обратный процесс раскачки маятника хаотическим движением молекул, т.е. уменьшается флуктуационная сила, действующая на маятник. Для того, чтобы уменьшить затухание, тело и нить подвеса изготовляют из высококачественного плавленого кварца — материала с низкими потерями упругой энергии, а также принимают специальные меры для исключения других источников диссипации энергии. В результате добротность крутильных маятников достигает величины -10 . [c.37] При таких высоких значениях добротности и соответствующем подавлении сейсмических возмущений проявляются квантовые свойства маятника. В этом случае поведение вполне макроскопического объекта будет определяться принципом неопределенности Гейзенберга. Правда, необходимые условия реализуются пока для малых временных интервалов (около 10 с), и для наблюдения квантовых особенностей поведения маятников требуются очень чувствительные регистрирующие устройства, но именно такие маятники, обладающие предельно высокой добротностью, предполагается использовать в будущих гравитационных антеннах. [c.38] Камертон, служащий для настройки музыкальных инструментов, также является высокодобротным осциллятором. Звук, издаваемый вибрирующими ножками камертона, затихает за достаточно длительное время по сравнению с периодом их колебаний. Если, например, собственная частота камертона лежит в диапазоне V = 300- 400 Гц, а продолжительность звучания (весьма грубо) составляет время порядка т 10 с, то камертон совершит ут 3000- 4000 колебаний. Это означает, что его добротность по порядку величины равна Q 10 . [c.38] Как это ни покажется парадоксальным, электрический колебательный контур является менее добротной системой, хотя частота его собственных колебаний имеет порядок величины у (10 - 10 ) Гц. Добротность контура ограничена, главным образом, омическими потерями и имеет порядок величины Q 10 . Это, в свою очередь, означает, что полоса пропускания Ау = 0 V, введенная ранее при рассмотрении вынужденных колебаний, равна Ау (10 - 10 ) Гц. [c.38] Параметрические колебания. В повседневной жизни мы сталкиваемся с незатухающими колебаниями, для поддержания которых требуется периодически менять какой-либо параметр колебательной системы. Одним из ярких примеров являются колебания качелей. Хорошо известно, что можно поддерживать колебания длительное время, если быстро приседать в момент наибольшего отклонения качелей и также быстро вставать при прохождении положения равновесия. Благодаря этому параметр физического маятника (качелей) — расстояние а между осью вращения и центром масс — меняется скачкообразно на величину Аа (Аа а). Величина Аа должна быть такой, чтобы обеспечить баланс энергии системы потери энергии маятника за период должны компенсироваться за счет совершения работы, осуществляемой при приседании и вставании. [c.39] Напишем условие энергетического баланса для простейшего случая колебаний математического маятника с длиной нити а, которая меняется на величину Аа (рис. 2.8.). Это можно осуществить, если пропустить нить маятника через отверстие в точке Р (точке подвеса) и затем, прикладывая внешнюю силу Р к концу нити, периодически менять ее длину. [c.39] При гармонических колебаниях (2.53) скорость v t) = а a(t) = аа о) os mt. [c.40] Чем более добротна система, тем меньше пороговая глубина модуляции. С повышением величины Аа/а амплитуда колебаний как это следует из формулы (2.61), будет увеличиваться. Однако при больших амплитудах (ар 1) формула (2.61) становится мало приемлемой, поскольку сделанные нами приближения становятся неприменимыми. [c.41] Вернуться к основной статье