ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение скобок Пуассона из "Основные принципы классической механики и классической теории поля " На этом простом примере мы покажем принципиальный ход решения задачи в рамках формализма Лагранжа — Гамильтона. [c.36] Рассмотрим плоское движение материальной точки т в однородном поле тяжести (рис. 5). Так как речь идет о плоском движении, которое мы будем считать происходящим, например, в плоскости X, г, положение точки будет определяться координатами х и 2 при этом уравнение связи получается из условия, что движение точки происходит по окружности к. Поэтому из двух степеней свободы плоского движения остается только одна. [c.36] Такой ход рассуждений не является самым простым. Совершенно очевидно, что в данной задаче с одной степенью свободы за обобщенную координату лучше всего принять угол отклонения ф маятника от вертикали. [c.36] Теперь надо решить эту систему. При этом можно использовать метод исключения, а именно исключить переменную р, что приведет к дифференциальному уравнению второго порядка (6.25). [c.38] Поскольку мы имеем дело с консервативной системой, т. е. [c.38] Пространство обобщенных координат дк называется конфигурационным пространством-, просгранство, образованное обобщенными импульсами рк, называется пространством импульсов.. Размерность каждого из этих пространств равна f, так что произведение этих двух пространств — фазовое пространство (более подробная классификация пространств осуществляется в статистической механике), обладает числом измерений 2f. Фазовое пространство является, так сказать, ареной для формализма Гамильтона. Это положение дел распространяется и на полуклассическую квантовую механику. [c.38] В строгой квантовой механике и в квантовой теории поля широко используется понятие коммутатора. Классический прообраз этих коммутаторов — скобки Пуассона, которые играют чрезвычайно важную роль при переходе от классической механики к механике квантовой. Поэтому мы хотим подробно поговорить здесь об этих скобках. [c.38] Справедливость этих соотношений удостоверяется самим определением (7.1). Соотношение 1 устанавливается сразу. Соотношение 2 также непосредственно ясно, поскольку производная от постоянной равна нулю. Соотношение За вытекает из того обстоятельства, что производная от суммы равна сумме производных. Соотношение ЗЬ можно получить из соотношения За в силу соотношения антисимметрии. Соотношение 4а является следствием правила Лейбница для дифференцирования произведения, а соотношение 4Ь получается из 4а в силу соотношения антисимметрии. Соотношение 5 (тождество Якоби) подтверждается непосредственными вычислениями. [c.39] Вернуться к основной статье