ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость движения Куэтта из "Теория гидродинамической устойчивости " В этой главе мы несколько подробнее изучим устойчивость течения между вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами. Эта задача была впервые решена как теоретически, так и экспериментально Дж. И. Тэйлором (1923). Анализ, который проделал Тэйлор, очень сложен, и последующие авторы старались применять более простые методы. [c.25] Поскольку задачи о гидродинамической устойчивости интересны, по крайней мере отчасти, также с точки зрения выдвигаемых математических проблем и применяемых математических методов, некоторые из этих методов будут в данной главе рассмотрены подробнее. Прежде чем это сделать, мы вкратце напомним краевую задачу, поставленную в 1.3, и укажем на некоторое упрощение в случае, когда радиусы цилиндров мало отличаются друг от друга. Именно этот случай имеет место в большинстве поставленных до сих пор экспериментов. Затем мы вкратце изучим зависимость критического числа Рейнольдса от параметров движения и покажем, что даже без полного решения задачи можно сделать некоторые интересные выводы, допускающие экспериментальную проверку. [c.25] Если не считать некоторых изменений в обозначениях, данная выше формулировка та же, что и в 1.3. Прежде чем ВХОДИТЬ в подробности решения задачи о собственных значениях, изучим некоторые из ее общих свойств. [c.26] Характеристики устойчивости в том случае, когда цилиндры вращаются в противоположных направлениях. [c.31] Критическое условие получается минимизацией по отношению к к1 и, следовательно, характеризуется определенными значениями 5 и для каждого о- фиг. 2 и 3 нанесены экспериментальные результаты Тэйлора, соответствующие этой схеме. Мы видим, что эти результаты показывают вполне приемлемое соответствие опыта с теорией. [c.33] Параметры 5 и были впервые введены Мексином в его асимптотическом анализе. Его работа относится к предельному случаю, когда Таким образом, он получил только фиксированные значения 5 и Приведенный выше более общий анализ предложен Линем и выполнен Ди Прима (1955), который получил также теоретические значения, указанные на фиг. 2 и 3. [c.33] Существует много известных способов решения сформулированных выше задач о собственных значениях. Первоначальный метод, использовавшийся Тэйлором, состоит в разложении решения по ортогональным функциям (см. 2.4). Этот метод очень громоздок, но ол по-прежнему остается единственным, применявшимся когда-либо в общем случае. [c.33] Когда расстояние между цилиндрами мало и они вращаются в одном направлении, то существует аналогия между рассматриваемой задачей и задачей тепловой конвекции, происходящей вследствие разности температур (см. гл. 7). Существование этой аналогии было предположено Лоу и Тэйлором и доказано математически Джефрисом (1928). Джефрис нашел, что имеет место полная аналогия, -если в тепловой задаче жидкость находится между двумя бесконечными твердыми проводящими пластинками, расположенными сверху и снизу. В других случаях также получаются уравнения (2.2.10), но с иными граничными условиями. [c.33] Ни Джефрис, ни Пелью и Саусвелл не пытались исследовать случай цилиндров, вращающихся в противоположных направлениях. Казалось бы, имело смысл стараться использовать какие-нибудь простые методы для решения уравнения (2.2.14) с граничными условиями (2.2.16). Очевидно, нельзя ожидать, что будет пригоден вариационный принцип, и вместо него нужно использовать метод Галер-кина. Подобные вычисления были проделаны Ди Прима (1955) результаты указаны на фиг. 2 и 3. Поскольку член в правой части уравнения (2.2.14) меняет знак внутри рассматриваемого интервала, то нужно проявить значительную осторожность в выборе приближающих функций, если желательно ограничиться только малым числом последовательных приближений. За подробностями мы отсылаем читателя к оригинальной статье Ди Прима. [c.34] Мексин (1946 Ь) решал уравнение (2.1.5) асимптотическими методами с использованием того, что X велико. В своем первом приближении (дальше он не пошел) Мексин фактически рассматривает (2.2.3) как приближение для (2.1.5). Это можно усмотреть, изучая его решение и граничные условия. Таким образом, асимптотическое решение должно оправдываться тем, что к велико. Оказывается, что к приблизительно равно тт. Эта величина может показаться слишком малой, но часто такие значения можно считать достаточными для метода асимптотических приближений. [c.34] Сейчас мы покажем, следуя Сквайру (1933), что задача для трехмерных возмущений в действительности эквивалентна двумерной задаче с меньшим числом Рейнольдса. В самом деле, вводя следующие преобразования. [c.39] Другой метод для получения предыдущего результата физически более поучителен. Трехмерное возмущение (1.3.8) является по существу волной, распространяющейся в направлении, наклонном к основному течению. Если взять систему координат с новой осью х, идущей в этом направлении, то можно показать, что на возмущение влияет только компонента основного течения, отвечающая этому направлению. Таким образом, эффективное число Рейнольдса уменьшается. Этот подход особенно поучигелен в случае сжимаемой жидкости, и в гл. 5 будет дано более подробное исследование, основанное на этой идее. [c.40] Для каждой пары действительных значений а и R существует собственное значение с, вообще говоря, комплексное. Если мнимая часть комплексной величины с положительна, то возмущение, согласно линейной теории, неустойчиво. Если Сг О, то возмущение затухает. Если = О, то существуют незатух1Ющие колебания. Условие = О приводит к соотношению между а и R или к кривой в плоскости (а, R). Эту кривую обычно называют кривой нейтральной устойчивости, или, коротко, нейтральной кривой. [c.41] Линь (1944) проделал подробные вычисления нейтральной кривой. Вычисления кривых с постоянными значениями были произведены Шэнем (1954) с помощью метода возмущений от нейтральной кривой Линя. Эти результаты показаны на фиг. 4. Минимальное критическое число Рейнольдса, вычисленное по максимальной скорости течения вдоль оси канала и по его полуширине, оказалось равным 5300. [c.42] Задачу о собственных значениях (3. 2. 5), (3. 2. 6) можно также решить прямым численным интегрированием. Однако, поскольку неустоЯчивость можно ожидать только при больших числах Рейнольдса, то решение очень быстро меняется вместе с у, и нужно брать очень мелкие шаги. Тем самым контроль за ошибками очень затрудняется. Тем не менее эти трудности были преодолены Тюмасом (1953). Его результаты, показанные также на фиг. 4, хорошо согласуются с результатами, полученными аналитическим путем. [c.43] Прямое численное интегрирование, даже с помош,ью бы-стродействуюш,ей электронной счетной машины, весьма длительно. Для небольшой, в конечном счете, работы понадобились две недели машинного времени. Томас считает, что это эквивалентно ста годам ручных вычислений. Выбору значений параметров в этих вычислениях помогало предварительное знание характеристик устойчивости из аналитических методов, но полученные численные значения, по-видимому, несколько более точны. [c.43] Вернуться к основной статье