ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодическая орбита Луны из "Аналитические основы небесной механики " Эти решения уравнений (61) 493 образуют искомое однопараметрическое семейство решений. [c.473] Подставляя ряды Фурье (3) в дифференциальные уравнения (Б)) 493, придем после приравнивания коэффициентов при сов ЫI т), 8т М1пг) при всех к в бесконечной системе алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов (4). Обозначим эту бесконечную систему через (5), так что (5) содержит Бсе неизвестные функции (4) и параметр т, который вводится вместе с производными х, у, х , у рядов (3). Поскольку уравнения (51) 493 нелинейные, то такова же и система (5). Кроме того, система (5) не является рекуррентной, так как каждое ыз уравнений системы содержит всё неизвестные (4). [c.473] К периодическим (аналитическим) функциям t при любом фиксированном тп в рассматриваемом промежутке. [c.474] Наконец, этот промежуток, которому может принадлежать постоянная интегрирования т, должен содержать также численные значения т = тпй, соответствующие наблюдаемому движению Луны. Поскольку это значение тпц мало (то = 0,08084. .. см. ниже 518), интересующий нас промежуток для значений тп охватывает небольшую окрестность вблизи m = 0. [c.474] Следовательно, первый пункт программы, изложенной в 504, а именно, построение системы (5 ), требует сравнения коэффициентов при различных степенях в правой и левой частях уравнений, получающихся после подстановки (9) в (Т . Хотя ввиду наличия в (71) квадратного корня и знаков деления такая операция представляется весьма мало доступной, можно преодолеть эту трудность благодаря замене (ггу) /= в (71) кубом полинома, который можно выписать для (мг ) на основании (7а). [c.475] Выполняя непосредственно указанные перед (И) подстановки и комбинируя полученные таким путем уравнения (На), придем к следующему результату ). [c.476] Эта рекуррентная формула и позволяет определить все частные суммы Уй х) всех рядов У (х) следующим образом. [c.480] Этим завершается переход от n — 1 к ге. [c.481] Таким образом, (28i) доказано. Неравенство (28г) выводится с помощью (16) — (17) точно таким же путем. [c.483] Кроме того, (28а) остается справедливым после замены любого из трех показателей —2 на целые отрицательные числа —3, —4,. .., причем значение постоянной С зависит от этих чисел. [c.483] Но очевидно, что последняя сумма меньше, чем произведение некоторой постоянной на так как - -оо. Этим самым (28а) доказано для чет ного Для нечетного / доказательство такое же. [c.483] Отсюда следует (30i). Неравенства же (ЗО2) вытекают из (28г) точно так же, как (30i) и (28i). Наконец, справедливость (ЗОз) очевидна в силу (29) и (28г). [c.484] Если отождествить т, i, i,. .. ж G, G i,. .. с ж, г/i, г/2,. .. и Fi, Fz,. .. соответственно, то (31) совпадает с (20). Вместе с тем (32) показывает, что условия (19i) —(19 ) удовлетворяются при а = 1, 7 = 1 / М. Таким образом, круг (21) совпадает с кругом т M S где верхняя граница М не должна быть меньше 1. [c.485] Таким образом, все неизвестные функции (4) параметра т выражаются формулами (33) —(34) или приближенно формулами (33а) —(34а). [c.486] СХОДИМОСТЬ тригонометрических рядов (3) к функциям х = х 1), У — У(1), но также сходимость рядов, получаемых нри почленном дифференцировании (3), к непрерывным вторым производным х 1), у 1). [c.487] Действительно, коэффициент Фурье при у-й гармонике для х 1) или у 1) мажорируется согласно (33) числом по в то же время -Ьоо. Поскольку ряды (3) удовлетворяют лагранжевым уравнениям формально, из теоремы единственности для рядов Фурье вытекает, что эти ряды представляют при фиксированном тп решения лагранжевых уравнений. [c.487] Вернуться к основной статье