ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Потенциальная поверхность из "Аналитические основы небесной механики " В утверждении ( ) говорится о точках (х, у), в которых функции (180 и (182) обращаются одновременно в нуль. Но функция (18г) обращается в нуль тогда и только тогда, когда у = О или = 0. В первом случае, когда у = О, обращение в нуль функции (180 означает, что х удовлетворяет условию С/ж(а , 0). Сопоставляя это условие с определением Xh( l) в 464, придем к трем точкам (160. Во втором случае, когда 7 = 0, увидим, что функция (181) обращается в нуль тогда и только тогда, когда р = о. В силу (18з) получим, что тогда р = о == 1. Но последнее равенство приводит согласно (1а) к точкам (162), что и доказывает окончательно ( ) — (И). [c.448] Наконец, (у) вытекает с очевидностью из ( ) и ( у). Значение 6 вточках (162) равно 72 3 — (1(1 — [1) ( 0) в силу (11) —(1а). [c.448] Применяя к данному случаю соображения, изложенные в 372, можно сразу сделать вывод ) о том, что произойдет при прохождении —А через последовательные критические значения Uz, U3, Ui, Ui = Ui). Ситуация иллюстрируется схематически рисунками 14, а, б, в, г, которые соответствуют четырем зшомянутьш в конце 471 интервалам значений /г. Заштрихованные области — это области N/i, а их границы — кривые Zh. Область Рн исчезает в симметрич1гом случае ц = Vz-Рис. 14. [c.450] Здесь применимы общие результаты, изложенные в 167— 170 и в 238—240 (надо сказать, что они были впервые установлены именно в связи с ограниченной проблемой трех тел). [c.451] Заметим, что эти равновесные решения представляют собой предельные случаи равновесных решений в неограниченной задаче и = 3 тел ( 380), получающиеся при стремлении массы од-iforo тела к нулю. В частности, три уравнения пятой степени, соответствующие (10) и (7з), получаются из (И) 358, если положить одно из rrii равным нулю. Аналогичным образом рассуждения, приводимые ниже в 475 и 476, соответствуют 381 и 382 соответственно. [c.451] Чтобы доказать (I), достаточно показать, что один из корней 5 квадратного уравнения (210 положительный, а другой отрицательный. Однако этот факт очевиден, поскольку свободный член в (210 меньше нуля. [c.452] Предположим теперь, если это возможно, что равновесное решение x t) = О, y t) О устойчиво в указанном в 131 смысле. Тогда при любом достаточно малом е О существует 6 = бе такое, что если (жо, Уо) — какая-либо точка круга Г (б), то интегральная кривая ж = ж(4), у = у(1), определяемая начальными условиями ж(0) = Хо, у(0) = Уо, х (0) = О, у (0) = О, существует и остается при всех — сх г оо внутри круга Г(е). Можно, конечно, предположить, что 6 С е а. Однако предположе-1гае о существовании такого б = бе сразу приводит к противоречию. [c.454] Очевидно, построение доказательства, эквивалентною приведенному выше, могло бы опираться на непосредственную проверку того факта, что условие, указанное в 133, не удовлетворяется. [c.455] Вернуться к основной статье