ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Регуляризация из "Аналитические основы небесной механики " то вторую и первую особые точки можно регуляри-зовать, положив z = —[д, -f и z = (1 — jj.) соответственно. [c.431] Подставляя далее (17i) и (18) в (8i), (9i), мы и получим в явном виде уравнения движения при любом фиксированном С. Заметим, что функции (17i) и (18) — регулярные аналитические на всей плоскости ( , т]). [c.434] Численные расчеты, выполненные на копенгагенской обсерватории для этого симметрического случм (J. = 1 — fi, опираются ьа уравнения (81), (9i), где zj и U определяются согласно (17i) и (18а). [c.434] Однако = О, т)(г) = О — есть одно, а следовательно, и единственное решение уравнений (8 , удовлетворяющее этим начальным условиям. Действительно, 11- обращаются, как легко видеть, в нуль в точке ( , т]) = (О, 0) не только в случае га = 2, но и при любом га 2. [c.435] В соответствии со сказанным, если га 2, то особая точка, с которой находится тело 1, преобразуется в равновесное решение по отношению к независимой переменной I. Следовательно, если столкновение происходит в конечный момент, например в момент = О, то значение г, соответствующее этому моменту, не будет конечным, но I оо. Таким образом, по отношению к независимой переменной I это столкновение имеет асимптотический характер (см. конец 167). Другими словами, знаменатель в (82), рассматриваемый как функция обращается в момент столкновения i = О в нуль, имея при га 2 гораздо более высокий порядок малости. [c.435] МЫ сразу придем к следующему аналогу леммы, сформулированной в конце 408. [c.436] Согласно изложенному в 449 существует единственное аналитическое продолжение движения в момент столкновения. Сопоставляя этот факт с другими, упомянутыми в конце 456, видим, что если моменты столкновений не имеют конечную точку сгущения t = Г, то движение определено при —оо С i -foo. Вместе с тем мы покажем, что такое конечное t не существует, т. е. что моменты столкновений, если они вообще существуют, образуют или конечную последовательность точек на оси t или же бесконечную последовательность, стремящуюся к оо (возможно, только к -f-oo или только к — оо). [c.437] В соответствии с (19) при любом t = tn обращается в нуль или ri t), или Гг( ), так что согласно (20) p(in) = 0. Так как г,- -(-0 при га- оо, то получим, что Im p(i) =0 при непрерывном стремлении t к +0. Рассуждая далее так же, как и в начале 456, увидим, что если lim р (i) = О, то и lim р (i) =0 при непрерывном стремлении t к -fO. [c.438] О = ri(t) обладает при i = О алгебраической особой точкой. Поэтому эта функция не может достичь нулевого значения в моменты i, для которых i = О является точкой сгущения. Однако этот вывод противоречит предположению о том, что p(in) = О для бесконечно большого числа моментов tn вблизи точки сгущения i = 0. Такое противоречие и доказывает справедливость утверждения, сформулированного в конце 459. [c.438] Любое решение х = x t), у = y t) ограниченной задачи трех тел существует при —оо i -foo, причем вещественные конечные особые точки обязательно соответствуют столкновениям инфинитезимального тела с одним из двух тел 1 — ц и л. Действительно, движение допускает (см. 449) единственное вещественное аналитическое продолжение в момент столкновения (если таковые имеются). Если же имеется бесчисленное множество последовательных столкновений (в моменты in), то in оо при я оо согласно 460. [c.438] Вернуться к основной статье