ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача трех тел из "Аналитические основы небесной механики " Прежде всего покажем, что обе пары Pj, Qj остаются при и +0 ограниченными. Так как надо доказать также (26i) — (264) и так как из (264), (26з) и (26 ), ( 64) вытекает ограниченность 1, Qz и Pl соответственно, то достаточно рассмотреть Рг. Однако Рг совпадает в силу (14г) и (Hi) —(II2) с г = М2Х2, где Мг — положительная постоянная, а Z/ = onst з согласно (13а), причем производная з остается ограниченной, так как она стремится к конечному пределу (7г). Таким образом, остается доказать (26i) —(264). [c.409] В силу (НО, (И2) и (191),. (180 соответственно, так что если положить 6 = 2(т1/ г2)Ml то (260 удовлетворяется в силу (82) ). [c.410] Таким образом, в окрестности точки м = О четыре 3-вектор-ные функции Рз(и), Qj u), = 1, 2, можно разложить в степенные ряды, сходящиеся при достаточно малых [и], представляющие данное решение уравнений (210 при и О и имеющие, конечно, вещественные коэффициенты. [c.410] Е (81), где ц О, увидим из определения (9), где О, и О, что функцию = i (м) можно разложить вблизи точки м = О в ряд по целым положительным степеням и с вещественными коэффициентами. Эта функция имеет в точке м == О нуль третьего порядка (т. е. 1 и) = и р и), где р(0) 0) и представляет при малых м 0 единственное вещественное обращение функции (9), задававшейся при малых О (ы 0). [c.411] В частности, непосредственный анализ приведенного выше доказательства показывает, что функция gз(i) остается голоморфной в точке = О, если тпз — тело, не участвующее в столкновении. [c.411] Действительно, два из трех расстояний стремятся к случае парного столкновения при i = О к одному и тому же положительному пределу, так что опять t u) = и р и), р 0) ф 0. [c.412] Следовательно, доказательство утверждения (и) 421 будет закончено, если только по крайней мере один из двенадцати характеристических показателей s для уравнений в вариациях окажется при соответствующих значениях масс пц отрицательным и иррациональным. Удостовериться в последнем можно путем исследования корней уравнения det sE — А) =0. Эти громоздкие 1Г элементарные исс.иедования аналогичны тем, о которых указывалось в 381. Выполняя их в данном случае, найдем, что если точка равновесия = aj уравнений (29i) соответствует треугольному решению, то восемь корней уравнения det sE — А) = О из двенадцати принадлежат, как и в 382, к устойчивому типу. Если исключить эти корни, то остающееся биквадратное уравнение легко разрешимо. Один из его корней s = s(/ i, т , /из) оказывается отрицательным при произвольных тщ, т , тпз и его значение зависит от масс гщ (входящих в коэффициенты уравнения). Кроме того, этот корень s = s(mi, /иг, гпз) принимает иррациональное значение, так как он является алгебраической, а следовательно, непрерывной функцией пц. [c.415] Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда рассматриваемая центральная конфигурация не треугольная, а коллинеарная. [c.415] ТОЛЬКО использовать вместо (Мг) аналогичные и — 2 тождественные подстановки. [c.416] Затруднение (см. 411) состоит в том, что если только и 3 (см. 412-413), то неизвестно, всегда ли существуют указанные точки Oi.Og, когда удовлетворяется условие r(i)- -0 (см. 409-410). [c.416] Из существования lim/(i) +оо вытекает далее, что условие lim r t) =0 можно заменить более сильным условием стремления к нулю по крайней мере одного из трех Pjft(i). В ином случае можно было бы выбрать последовательность моментов ii, tz. таких, что tm удовлетворяют тому же условию, о котором говорилось в 412, и расположено между и Но это ведет к тому же противоречию, что и в 412. [c.417] Следовательно, можно выбрать обозначения так, что lim pi2(i) = О при lim t = -fO. [c.417] Поскольку lim piz(i) = О, то либо все три lim pjft(i) = О, либо обращается в нуль при t = и различных и достаточно больших т одно и то же расстояние pjk, а именно pi2. Но мы теперь покажем, что оба эти случая, не исключающие друг друга, ведут к противоречию. Это противоречие доказывает отсутствие конечного t, о существовании которого мы предположили в 427. [c.418] Этим самым исключается первый из двух случаев, упомянутых в конце 428. [c.418] Это противоречие завершает доказательство факта, указанного в конце 426. [c.419] Сравнивая этот результат с 413, видим, в частности, что если решение обладает инвариантной плоскостью (т. е. если это решение неплоское), то оно существует при всех t от i = — оо до i = -f-oo при условии, что оно аналитически продолжаемо в моменты парных столкновений. Разумеется, число таких столкновений может быть конечным ( 0) или бесконечным. [c.419] По существу, пример, упомянутый в конце 346а, показывает, что решение, не обладающее инвариантной плоскостью, может и не приводить к одновременному столкновению. Наконец, выбирая А О и рассматривая гомографическое решение, используемое в 421 для доказательства утверждения ( ), увидим, что решение может существовать при всех ioTi=—оо до4 = -оо даже и тогда, когда имеет место бесконечно большое число одновременных столкновений. [c.419] В случае, когда С ф О, теорема предыдущего параграфа дает всю дополнительную информацию. Действительно, если применить непосредственное аналитическое продолжение вдоль вещественной оси и, то тогда из примечания в 408 следует, что три барицентрических вектора положения gi, рассматриваемых как функции переменной и, являются регулярными аналитическими в полосе К(ггУ—1) onst вдоль вещественной оси на комплексной плоскости и, причем R(z) обозначает вещественную часть г. [c.420] Вернуться к основной статье